단위 셀
정의1 2
동일한 배열을 반복하여 전체 공간을 빈틈없이 채우며, 결정 구조를 표현할 수 있는 작은 단위를 단위 셀unit cell이라 한다. 단위셀 내의 점의 상대적 위치를 나타낸 것을 기저basis라 한다.
수학적 정의
3차원 공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 주어진 격자 $L = \left\{ n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3} \mid n_{i} \in \mathbb{Z} \right\}$에 대하여, 평행이동 벡터를 $\mathbf{t} = m_{1}\mathbf{a}_{1} + m_{2}\mathbf{a}_{2} + m_{3}\mathbf{a}_{3}$ ($n_{i}$는 임의의 정수)라 하자.
전체공간의 닫힌부분집합 $U \subset \mathbb{R}^{3}$에 대해서, 다음을 만족하는 $\left\{ \mathbf{ t}_{k} \right\}$가 존재하면 $U$를 단위 셀unit cell이라 한다
- $\bigcup_{k} (U + \mathbf{t}_{k}) = \mathbb{R}^{3}$
- $k \neq \ell$에 대해, $(U + \mathbf{t}_{k})^{\circ} \cap (U + \mathbf{t}_{\ell})^{\circ} = \varnothing$
이때 $+$는 집합의 합, $A^{\circ}$는 집합 $A$의 내부이다.
격자 $L$의 단위셀 $U$ 내의 점을 기본격자벡터 $\mathbf{a}_{i}$의 선형결합으로 나타낸 상대적 좌표들의 집합을 기저basis라 한다.
$$ \mathbf{r}_{j} = x_{j} \mathbf{a}_{1} + y_{j} \mathbf{a}_{2} + z_{j} \mathbf{a}_{3}, \quad j = 1, 2, \ldots, N $$
이때 $0 \le x_{j}, y_{j}, z_{j} \le 1$이다.
설명
쉽게 말해서 단위셀이란 평행이동하여 덧붙여서 전체 공간을 빠짐없이, 겹침없이 표현할 수 있는 부분집합이다. 단위셀의 조건을 일반적인 언어로 표현하면 아래와 같다.
- 전체 공간을 빈틈없이 덮는다.
- 서로 겹치지 않는다.
기저의 각각의 좌표는 실제 결정구조에서 각각의 원자들이 위치하는 좌표를 나타낸다. 그래서 기저의 크기 $| \left\{ \mathbf{r}_{j} \right\} | = N$은 단위셀 내 원자수를 의미한다.
단위 셀 내에 몇 개의 격자점이 있는지를 나타낼 때에 중요한 점이 있다. 경계에 위치한 격자점은 실제로 그 점이 셀 내에 얼마만큼의 비율로 포함되는지를 고려해야된다는 것이다. 아래 그림 $(a)$에서 왼쪽 회색 상자가 단위 셀이라 하자. 셀 중심의 격자점 $p_{1}$를 보자. $p_{1}$는 유닛셀 $U$에 포함되는 임의의 근방 $N_{\epsilon}(p_{1})$를 선택할 수 있다. 이런 경우에 $p_{1}$는 '1개'의 격자점이다.
반면에 단위셀 경계에 있는 점들, 예를들어 $p_{2}$와 같은 점은 어떤 $\epsilon$에 대해서도 단위셀에 포함되는 근방을 선택할 수 없다. 이런 경우에 $p_{2}$의 갯수는 $1$ 미만이 된다. 구체적으로는, 반지름이 적당히 작은 근방에 대해서, 근방의 부피에 대해 단위셀과의 교집합의 부피에 대한 비율이 $\frac{1}{4}$이므로, 이 격자점은 단위셀 내에서 $\frac{1}{4}$개인 격자점이다. 그래서 $(a)$의 단위 셀에는 총 $1 + 4\cdot\frac{1}{4} = 2$개의 격자점이 포함되어 있다. 혹은 격자 전체를 단위셀의 평행이동으로 가득 채웠을 때 격자점이 $n$개의 단위셀에 걸쳐있다면, 그 격자점은 $\frac{1}{n}$개로 세야한다고 이해해도 된다.
그림 $(a)$의 단위셀이 두 개의 격자점을 포함하는 반면, 그림 $(b)$에서 기본단위셀primitive unit cell과 위그너-자이츠 단위셀Wigner-Seitz unit cell은 $1$개의 격자점만 포함한다.
임의의 복잡한 결정 구조는 격자와 단위셀, 기저를 이용하여 기술할 수 있다. 격자는 결정 구조의 거시적인 반복 패턴을 나타내며, 기저는 국소적으로 원자들이 어떻게 배치되어있는지를 나타낸다. 이를 이해하기위한 좋은 예시로 벌집구조가 있다. 아래 그림과 같은 벌집구조는 직관과는 다르게 정의상 격자가 아니다. 하지만 벌집구조는 격자와 기저로 표현할 수 있다. 여기서는 벌집의 육각형 내의 검은 점들의 집합이 격자이고, 점선으로 이루어진 영역은 단위 셀이 된다. 그리고 파란색 점과 노란색 점은 각각 단위셀 내에서 좌표 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$과 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$로 표현되고 이 두 좌표가 기저이다.
기본 단위셀
하나의 격자점만 포함하는 셀을 기본 단위셀primitive unit cell이라 한다. 격자가 $L = \left\{ n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3} \mid n_{i} \in \mathbb{Z} \right\}$과 같이 주어지면, 자연스럽게 기본격자벡터 $\mathbf{a}_{i}$들의 집합은 기본단위셀이 된다.
위그너-자이츠 단위셀
기준이되는 격자점을 하나 잡고, 그 격자점과 다이웃한 른 격자점들 사이의 수직이등분면으로 둘러싸인 영역을 위그너-자이츠 단위셀Wigner-Seitz unit cell이라 한다. 정의상 자연스레 기본 단위셀이 되며, 경계에는 아무런 격자점이 없다.
관습 단위셀
이름 그대로 관습적으로 다루기 편하게 지정한 단위셀을 관습 단위셀conventional unit cell이라 한다. 흔히 직육면체(직사각형)이 되도록 잡는다.