대칭행렬의 성질

정의¹

임의의 정사각행렬 $A$가 다음의 식을 만족하면 $A$를 대칭행렬이라 한다.

$$ A = A^{\mathsf{T}} $$

$A^{\mathsf{T}}$는 $A$의 전치이다.

성질

(a) $A^{\mathsf{T}}$는 대칭행렬이다.

(b) $A \pm B$는 대칭행렬이다.

(c) $kA$는 대칭행렬이다.

(d) $A$가 가역이면, $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

(e) $A$가 가역이면, $A^{\mathsf{T}}A$와 $AA^{\mathsf{T}}$도 가역이다.

(f) $AA^{\mathsf{T}}$는 $m \times m$ 대칭행렬이고, $A^{\mathsf{T}}A$는 $n \times n$ 대칭행렬이다.

(g) $A$의 고유값은 모두 실수이다.

(h) $A$의 서로 다른 고유값에 대응되는 고유벡터는 직교한다. (= 서로 다른 고유공간의 고유벡터는 직교한다.)

증명

(d)

$A$가 가역행렬이라고 하자. 그러면 $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$이므로 $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

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(e)

$A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 $AA^{\mathsf{T}}$의 크기는 $(m \times \cancel{n} ) \times (\cancel{n} \times m) = m \times m$이고 전치행렬의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ (AA^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} = (A^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} (A)^{\mathsf{T}} = AA^{\mathsf{T}} $$

따라서 $AA^{\mathsf{T}}$는 대칭행렬이다. $A^{\mathsf{T}}A$의 경우에도 증명은 같다.

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(f)

가역행렬의 성질에 의해, $A$가 가역이면 $A^{\mathsf{T}}$도 가역이고 가역행렬의 곱은 가역이므로 $AA^{\mathsf{T}}$, $A^{\mathsf{T}}A$도 가역이다.

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(g), (h)

에르미트 행렬에 대한 증명의 특수화로 볼 수 있다.

• 에르미트 행렬의 고유값은 실수이다
• 에르미트 행렬의 서로 다른 고유값에 대응되는 고유벡터는 서로 수직이다

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