볼자노-바이어슈트라스 정리
정리
무한집합 $E \subset \mathbb{R}$ 가 유계면 $E$ 의 집적점 $p \in \mathbb{R}$이 존재한다.
설명
혹은 ‘유계 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.‘라고 해도 좋다. 조건에서 $E$ 가 꼭 닫혀있을 필요는 없다는 점을 알아두도록 하자.
증명
Part 1. $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\}$
가정에서 $E$ 가 유계이므로 $E \subset I_{1}$ 를 만족하는 폐구간 $I_{1} := [a,b]$ 가 존재한다. 여기서 $I_{2}$ 를 길이가 $I_{1}$ 의 절반이고 $E$ 의 점을 무한히 많이 포함하는 구간으로 잡도록 하자. 이러한 과정을 반복해서 내포구간 $I_{n+1} \subset I_{n}$ 을 만들 수 있고, $I_{n}$ 의 길이는 $\displaystyle d_{n} : = {{b-a} \over {2^{n}}}$ 이 된다.
칸토어의 축소구간 정리: 내포된 구간 $[a_{n}, b_{n}]$ 에 대해서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 이면 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ 은 홑원소 집합이다.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0$ 이므로 축소구간 정리에 의해 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\}$ [NOTE : 딱히 $x \in E$ 일 필요는 없다]
Part 2. $x$ 는 $E$ 의 집적점
$x$ 를 포함하는 열린 집합 $O$ 를 생각해보면, 실수의 조밀성에 의해 $(x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O$ 가 되도록 하는 $\varepsilon>0$ 가 존재한다. 앞서 보았듯 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0$ 이므로 $\displaystyle d_{n_{0}} = {{b-a} \over {2^{n_{0}}}} < \varepsilon$ 을 만족하는 자연수 $n_{0}$ 역시 존재할 것이므로
$$ x \in I_{n_{0}} \subset (x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O $$
집적점: 실수상에서의 한 점 $x \in \mathbb{R}$ 과 부분집합 $A \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $x$ 를 포함한 임의의 열린 집합 $O$ 에 대해 $ O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $ 이면 $x$ 를 집적점이라 정의한다.
$O$ 를 어떻게 잡더라도 $x$ 를 포함하는 열린 집합인 이상 $\left( O \setminus \left\{ x \right\} \right) \cap E \ne \emptyset$ 일수밖에 없다. 따라서 $x$ 는 $E$ 의 집적점이 된다.
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