레일리 몫
정의
대칭행렬 $A$와 벡터 $\mathbf{x}$에 대해서 다음의 값을 레일리 몫Rayleigh quotient이라 한다.
$$ R(A, \mathbf{x}) = \dfrac{ \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathsf{T}} \mathbf{x}} $$
복소행렬의 경우에, 에르미트행렬 $A$에 대해 레일리 몫을 아래와 같이 정의한다.
$$ R(A, \mathbf{x}) = \dfrac{ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x}} $$
설명
$\lambda$가 $A$의 고유값이고, $\mathbf{x}$가 $\lambda$에 해당하는 고유값이면 레일리 몫은 고유값이 된다.
$$ R(A, \mathbf{x}) = \lambda $$
$\mathbf{x}_{k}$가 우세 고유벡터에 수렴하면, 레일리 몫은 우세 고유값에 수렴한다. 이러한 계산을 거듭제곱법이라 한다.
성질
(a) 레일리 몫의 최댓값(최솟값)이 존재하고, 그 값은 최대고유값(최소고유값)이다. $$ \lambda_{\min} \le R(A, \mathbf{x}) \le \lambda_{\max} $$
(b) 임의의 상수 $c$에 대해서, $R(A, \mathbf{x}) = R(A, c \mathbf{x})$이다.