📂편미분방정식

디리클레 에너지

정의

열린집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$에서 정의된 미분가능한 함수 $u : \Omega \to \mathbb{R}$이 주어졌다고 하자. 아래와 같이 정의되는 범함수를 디리클레 에너지^{Dirichlet energy}라 한다.

$$ E [u] = \dfrac{1}{2}\int_{\Omega} \|\nabla u(x) \|^{2} \mathrm{d}x $$

여기서 $\nabla u$는 $u$의 그래디언트이다. 그래디언트

설명

그래디언트는 다변수함수의 도함수, 즉 변화량이므로 디리클레 에너지는 주어진 영역 $\Omega$에서 함수 $u$가 얼마나 많이 변하는지를 나타내는 양이라 볼 수 있다. 피적분함수가 $0$보다 크거나 같으므로, 디리클레 에너지가 $0$이라는 말은 $\| \nabla u \|^{2} = 0$이라는 뜻이고, 놈의 정의에 의해서 $\nabla u = 0$ 즉 $u$는 변화가 없는 상수함수라는 의미이다.

성질

• 모든 $u$에 대해서, $E [u] \ge 0$이다.