물리학에서 필드란?
정의
물리학 및 수학에서, 함수 $f : X \to Y$에 대해 $X$가 벡터공간일 때, $f$를 필드field, 장라 한다.
설명
- 대수학에서 말하는 체field와는 다르다.
필드란 어떤 공간 상의 점, 즉 벡터를 다른 값으로 대응시키는 함수이며, 쉽게 말해서 다변수함수와 같다. 여기서 공간이란 보통 유클리드 공간을 의미하며, 경우에 따라 민코프스키 공간이나 임의의 다양체가 될 수도 있다. 함수의 맥락에서 필드라는 단어가 단독으로 쓰이지는 않으며(이 경우에는 대수학에서의 체를 의미한다), 벡터를 스칼라로 대응시키면 스칼라 필드, 벡터를 벡터로 대응시키면 벡터 필드, 벡터를 텐서로 대응시키면 텐서 필드라고 한다. 좀 더 직관적으로, 공간의 한 점을 스칼라 🔒(26/04/13)물리량에 대응시키는 함수를 스칼라장, 공간의 한 점을 벡터 물리량에 대응시키는 함수를 벡터장이라 한다.
| 함수 | 대응관계 | 예시 |
|---|---|---|
| 스칼라 필드 | 벡터 $\mapsto$ 스칼라 | 점 $(x, y, z)$에서의 온도 $T = T(x,y,z)$ |
| 벡터 필드 | 벡터 $\mapsto$ 벡터 | 점 $(x, y, z)$에서 물체의 속도 $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{bmatrix} v_{x}(x,y,z) \\ v_{y}(x,y,z) \\ v_{z}(x,y,z) \end{bmatrix}$ |
| 텐서 필드 | 벡터 $\mapsto$ 텐서 | 점 $(x, y, z)$에서 물체가 받는 응력 $\sigma = \sigma(x, y, z) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$ |