📂행렬대수

리 곱 공식

정리¹

행렬 $X, Y \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ e^{X + Y} = \lim\limits_{m \to \infty} \left( e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} \right)^{m} $$

이때 $e^{X}$는 행렬 지수이다.

증명

행렬 지수

$$ e^{X} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} $$

행렬 지수의 정의에 따라 $e^{\frac{X}{m}}$와 $e^{\frac{Y}{m}}$의 곱은 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ e^{{\frac{X}{m}}} e^{{\frac{Y}{m}}} = I + \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) $$

여기서 $O$는 빅오 표기법이다. 따라서 $e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} \to I$ $\text{as}$ $m \to \infty$이고, 충분히 큰 $m$과 충분히 작은 $\epsilon$에 대해서 $\| e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} - I \| \lt \epsilon$이 성립한다.

행렬로그의 성질

$$ e^{\log A} = A, \quad \text{for } \| A - I\| \lt 1 $$

$$ \log(I + B) = B + O(\| B^{2} \|), \quad \text{for } \| B \| \lt 1/2 $$

행렬로그의 성질에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \log(e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}}) &= \log \left( I + \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right) \\ &= \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \left\| \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right\|^{2} \right) \\ &= \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \end{align*} $$

양변에 지수를 취하면 (실수에서 정의되는 지수함수와 달리 위의 조건들이 성립하기 때문에 가능함에 주의),

$$ e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} = \exp \left( \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right) $$

$$ \implies (e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}})^{m} = \exp \left(X + Y + O \left( \dfrac{1}{m} \right) \right) $$

이제 $m \to \infty$인 극한을 취하면, $\exp$가 연속이므로,

$$ \lim\limits_{m \to \infty} (e^{{\frac{X}{m}}} e^{{\frac{Y}{m}}})^{m} = \exp \left(X + Y\right) = e^{X+ Y} $$

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