모든 가역행렬은 행렬지수꼴로 나타난다
정리
모든 가역행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$는 어떤 $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$의 행렬 지수꼴로 나타난다.
$$ A = e^{X} \quad \text{for some } X \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) $$
증명
$A$가 가역행렬이라고 하자. 그러면 $A$의 모든 고유값은 $0$이 아니다. 또한 행렬 $A$는 아래와 같은 블럭대각행렬로 분해가능하다.
$$ A = \begin{bmatrix} \lambda_{1} I + N_{1} & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I + N_{2} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I + N_{k} \end{bmatrix} $$
이때 $N_{i}$는 멱영행렬이다. $\lambda_{i} \ne 0$이므로 각 대각블럭을 $\lambda_{i}(I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})$와 같이 나타내자. 괄호 안의 행렬은 멱일원 행렬이므로, $I + \lambda_{i}^{-1}N_{i} = e^{\log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})}$가 성립한다. 또한 $\lambda_{i} = e^{\mu_{i}}$라고 하면, $\lambda_{i} I = e^{\mu_{i}I}$가 성립한다. 따라서 $A$는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} e^{\mu_{1}I} e^{\log (I + \lambda_{1}^{-1}N_{1})} & O & \cdots & O \\ O & e^{\mu_{2}I} e^{\log (I + \lambda_{2}^{-1}N_{2})} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & e^{\mu_{k}I} e^{\log (I + \lambda_{k}^{-1}N_{k})} \end{bmatrix} \\[3em] &= \begin{bmatrix} e^{\mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})} & O & \cdots & O \\ O & e^{\mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & e^{\mu_{k}I + \log (I + \lambda_{k}^{-1}N_{k})} \end{bmatrix} \end{align*} $$
이제 $X_{i} = \mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ A = \diag(e^{X_{1}}, e^{X_{2}}, \dots, e^{X_{k}}) = e^{\diag(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{k})} $$
그러므로, $X = \diag(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{k})$라 두면 다음을 얻는다.
$$ A = e^{X} $$
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