📂추상대수

체 위의 대수

정의 ¹

$\mathbb{F}$를 체, $A$를 $\mathbb{F}$–벡터공간이라고 하자. 곱^product이라 불리는 이항연산 $\times : A \times A \to A$가 아래와 같이 주어졌을 때, $A$를 $\mathbb{F}$ 위의 대수^{algebra over a field $\mathbb{F}$}라 한다. $x, y, z \in A$와 $a, b \in \mathbb{F}$에 대해서,

1. 분배법칙: $$ (x + y) \times z = x \times z + y \times z $$ $$ z \times (x + y) = z \times x + z \times y $$ 여기서 $+$는 벡터공간 $A$의 덧셈이다.

2. 스칼라 곱셈과의 호환성: $$ (ax) \times (by) = (ab)(x \times y) $$

설명

간단히 $\mathbb{F}$–대수라고도 한다. 벡터공간에는 덧셈^addition과 스칼라곱셈^{scalar multiplication}이 정의되어 있으므로, $\mathbb{F}$–대수는 덧셈, 스칼라곱셈, 곱의 세가지 연산을 갖는 구조이다.

종류

결합 대수

$\mathbb{F}$–대수의 곱 $\times$가 결합법칙을 만족할 때 결합 대수^{associative algebra}라 한다.

• 행렬공간 $M_{n \times n}(\mathbb{R})$ 혹은 $M_{n \times n}(\mathbb{C})$. 이때 곱은 행렬곱이다.
• 군 대수

비결합 대수

$\mathbb{F}$–대수의 곱 $\times$가 결합법칙을 만족하지 않으면 비결합 대수^{non-associative algebra}라 한다.

• 3차원 공간과 외적
• 리 대수: 일반적으로 리 대수는 비결합 대수이다.