📂행렬대수

행렬의 SN 분해

정리¹

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서 다음이 성립하는 유일한 분해가 존재한다.

$$ A = S + N $$

여기서 $S$는 대각행렬, $N$은 멱영행렬이다.

설명

이를 SN 분해^{decomposition} 혹은 Jordan–Chevalley decomposition이라 한다. $A$는 복소정방행렬인 것 외에 아무런 조건이 없다. 대각행렬 $S$는 $A$의 고유값을 대각성분으로 갖는다.

증명

이하 $A$를 행렬이자 선형변환인 것으로 다룬다.

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$A$의 서로 다른 고유값을 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$라 하자. 그리고 $W_{\lambda_{i}}$를 $\lambda_{i}$에 대응하는 일반화 고유공간이라고 하자. 그러면 $W_{\lambda_{i}}$는 $A$–불변 부분공간이고, 다음이 성립한다.

$$ \mathbb{C}^{n} = W_{\lambda_{1}} \oplus W_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus W_{\lambda_{k}} $$

$A_{\lambda_{i}} = A|_{W_{\lambda_{i}}}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ A = A_{\lambda_{1}} \oplus A_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus A_{\lambda_{k}} = \begin{bmatrix} A_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & A_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} $$

이제 $N_{\lambda_{i}} = A_{\lambda_{i}} - \lambda_{i} I$라고 하자. 그러면 $N_{\lambda_{i}}$는 $W_{\lambda_{i}}$ 위로의 멱영 변환(행렬)이다. 그러므로 $A$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} I + N_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I + N_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I + N_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} I & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} N_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & N_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & N_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} \end{align*} $$

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