일반화 고유공간
정의1 2
행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$의 고유값 $\lambda$에 대해, $\lambda$의 모든 일반화 고유벡터들의 집합을 $W_{\lambda}$로 표기하고 일반화 고유공간generalized eigenspace이라 한다.
$$ W_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n} : (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ for some } k \in \mathbb{N} \right\} $$
설명
고유공간이 고유값에 대응되는 모든 고유벡터들의 공간이듯, 일반화 고유공간은 고유값에 대응되는 모든 일반화 고유벡터들의 공간이다. 어떤 $\mathbf{v}$가 $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$을 만족하면, $(A - \lambda I)^{k+1} \mathbf{v} = \mathbf{0}$도 만족하므로, 어떤 $K$에 대해서 $W_{\lambda}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ W_{\lambda} = \ker (A - \lambda I)^{K} $$
따라서 $(A - \lambda I)$의 $W_{\lambda}$ 위로의 축소사상은 멱영 변환이다. 이하 행렬 $A$를 행렬이자 선형변환인 것으로 다룰 것이다.
$$ N_{\lambda} := (A - \lambda I) |_{W_{\lambda}} \text{ is nilpotent.} $$
아래의 (d) 에서, 커널은 단조성을 가지므로 $m$보다 큰 수에 대해서도 성립한다. 일반적으로 $m$보다 작을 때도 성립할 수 있으며, 이에 대한 정보는 주지 않는다. 적당히 큰 수를 잡으면 (d) 가 성립하는데, 그 적당히 큰 수로 $m$이면 충분함을 알려주는 것이다.
성질
(a) $W_{\lambda}$는 $A$–불변 부분공간이다.
(a') 임의의 상수 $\mu$에 대해, $W_{\lambda}$는 $(A - \mu I)$–불변이다.
(b) 상수 $\mu \ne \lambda$에 대해서, $(A - \mu I)$의 $W_{\lambda}$ 위로의 축소사상 $(A -\mu I)|_{W_{\lambda}}$는 일대일이다.
(b') 위에서 $\mu$가 고유값이라 가정하지 않았음에 유의하자. 즉 고유값 $\lambda$에 대해서 $A|_{W_{\lambda}}$는 일대일이다.
(b'') $A|_{W_{\lambda}}$의 고유값은 오직 $\lambda$ 뿐이다.
$\lambda$를 대수적 중복도가 $m$인 $A$의 고유값이라 하자. 다음이 성립한다.
(c) $\dim (W_{\lambda}) \le m$ (사실은 등호가 성립한다.)
(d) $W_{\lambda} = \ker (A - \lambda I)^{m}$
증명
(a)
임의의 $\mathbf{v} \in W_{\lambda}$에 대해 $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$이라 하자. $A$ 와 $(A - \lambda I)$는 교환가능하므로, 다음이 성립하여 $A \mathbf{v} \in W_{\lambda}$이다.
$$ (A - \lambda I)^{k} (A \mathbf{v}) = A (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = A \mathbf{0} = \mathbf{0} $$
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(a')
$\mathbf{v} \in W_{\lambda}$에 대해서, $A \mathbf{v} \in W_{\lambda}$이고 $\mu I \mathbf{v} \in W_{\lambda}$이므로 성립한다.
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(b)
선형변환이 일대일임을 보이는 것은 커널이 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$임을 보이는 것과 같다. $\mathbf{v} \in W_{\lambda}$라 하자. 그리고 $(A - \mu I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$이라 하자. 이제 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$이라고 가정하자(그리고 모순이 생김을 보일 것이다.) $k$를 $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$가 성립하는 가장 작은 정수라고 하자. 그리고 $\mathbf{y} = (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v}$라 하면 다음이 성립하므로 $\mathbf{y} \in E_{\lambda}$이다. 여기서 $E_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} : (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \right\}$는 $\lambda$의 고유공간이다.
$$ \mathbf{y} \ne \mathbf{0}, \qquad (A - \lambda I)\mathbf{y} = \mathbf{0} $$
또한 $(A - \lambda I)$와 $(A - \lambda I)$는 교환가능하므로 다음이 성립한다.
$$ (A - \mu I) \mathbf{y} = (A - \mu I) (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v} = (A - \lambda I)^{k-1} (A - \mu I) \mathbf{v} = (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{0} = \mathbf{0} $$
따라서 $\mathbf{y} \in E_{\mu}$이다. 그런데 서로 다른 $\mu$와 $\lambda$에 대해서 $E_{\mu} \cap E_{\lambda} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$이므로, $\mathbf{y} = \mathbf{0}$이다. 이는 앞선 $\mathbf{y} \ne \mathbf{0}$라는 사실과 모순이다. 따라서 가정이 틀렸음을 알 수 있고, $(A - \mu I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$를 만족하는 $\mathbf{v}$는 영벡터이다. 따라서 $(A - \mu I)|_{W_{\lambda}}$의 커널은 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$이고, 일대일이다.
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(b'')
$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$에 대해서 $A|_{W_{\lambda}} \mathbf{v} = \mu \mathbf{v}$라고 하자. $\mathbf{v} \in W_{\lambda}$이므로, 어떤 $k$에 대해서 $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$이다. 그러면 다음을 얻는다.
$$ (A - \lambda I)^{k}\mathbf{v} = (\mu - \lambda)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$
따라서 $\mu = \lambda$이다.
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(c)
$A|_{W_{\lambda}}$의 특성다항식을 $h(x)$라 하자. $W_{\lambda}$가 $A$–불변이므로 $h$는 $A$의 특성다항식 $f$를 나눈다. (b'') 에 의해서 $A|_{W_{\lambda}}$의 고유값은 오직 $\lambda$ 뿐이므로,
$$ h(x) = (x - \lambda)^{d} $$
따라서 $d = \dim (W_{\lambda}) \le m$이다.
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(d)
우선 $\ker (A - \lambda I)^{m} \subset W_{\lambda}$인 것은 자명하다.
$W_{\lambda}$는 $A$–불변이고, $A_{W_{\lambda}}$의 특성다항식 $f$는 $A$의 특성다항식을 나눈다. 그리고 $A|_{W_{\lambda}}$의 고유값은 오직 $\lambda$ 뿐이므로, $d \le m$인 $d$에 대해서, 다음이 성립한다.
$$ f(x) = (x - \lambda)^{d} $$
그러면 케일리-해밀턴 정리에 의해서 다음이 성립한다.
$$ f(A_{W_{\lambda}}) = (A_{W_{\lambda}} - \lambda I)^{d} = O $$
$$ \implies (A - \lambda I)^{d} \mathbf{v} = \mathbf{0}, \quad \forall \mathbf{v} \in W_{\lambda} $$
$d \le m$이므로, $W_{\lambda} \subset \ker (A - \lambda I)^{m}$
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