멱영행렬은 순상삼각행렬과 닮음이다
정리
행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$가 멱영이라고 하자. 이는 순상삼각행렬과 닮음이다.
증명
$A$가 $A^{k} = O$를 만족한다고 하자. 그러면 커널의 단조성에 의해 아래와 같은 플래그가 존재한다.
$$ \left\{ \mathbf{0} \right\} \lneq \ker A \lneq \ker A^{2} \lneq \cdots \lneq \ker A^{k-1} \lneq \ker A^{k} = \mathbb{C}^{n} $$
$$ \dim (\ker A) \lt \dim (\ker A^{2}) \lt \cdots \lt \dim (\ker A^{k-1}) \lt \dim (\ker A^{k}) = n $$
$\ker A$의 기저를 $B_{1}$이라 하자. 이 기저를 확장하여 얻은 $\ker A^{2}$의 기저를 $B_{2}$라 하자. 같은 방식으로 얻은 $\ker A^{i}$의 기저들을 $B_{i}$라 하자. 그리고 집합 $S_{i}$를 아래와 같이 두자.
$$ S_{i} = B_{i} \setminus B_{i-1} $$
즉 $S_{i}$는 $\ker A^{i}$에서 새로 추가된 기저벡터들의 집합이다. 어떤 기저벡터가 $v \in S_{i}$라면 정의상 다음을 만족한다.
$$ v \in \ker A^{i}, \quad Av \in \ker A^{i-1}, \\ v \notin \ker A^{i-1} $$
그런데 $\ker A^{i-1} = \span (B_{i-1}) = \span (S_{1} \cup \cdots \cup S_{i-1})$이므로, $Av$는 $S_{1} \cup \dots \cup S_{i-1}$의 벡터들의 선형결합으로 나타난다. 즉 $B_{k}$를 선택한 좌표벡터를 생각하면, $Av$의 성분(좌표)은 $N_{i-1} = |B_{i-1}|$번째까지만 $0$이 아닌 성분이 등장하고, 그 이후로는 모두 $0$이 된다. 일반성을 잃지않고 $B_{k}$의 모든 벡터의 크기가 $1$이라 하면, 이들을 열벡터로 갖는 행렬 $Q$는 유니터리 행렬이 되고, $Q^{\ast}AQ$는 순상삼각행렬이 된다.
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