커널과 이미지의 단조성
정리
$T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. 커널과 이미지에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \ker T \subset \ker T^{2} \subset \ker T^{3} \subset \cdots $$
$$ \im T \supset \im T^{2} \supset \im T^{3} \supset \cdots $$
설명
일반적으로는 커널이 위와 같이 단조 증가하지만, $T$가 $T^{k} = 0$을 만족하는 멱영 변환이라면 아래와 같은 플래그가 존재한다.
$$ \left\{ \mathbf{0} \right\} \lneq \ker T \lneq \ker T^{2} \lneq \cdots \lneq \ker T^{k-1} \lneq \ker T^{k} = V $$
$$ \dim (\ker T) \lt \dim (\ker T^{2}) \lt \cdots \lt \dim (\ker T^{k-1}) \lt \dim (\ker T^{k}) = \dim (V) $$
아래의 증명은 $T$가 행렬이어도 그대로 성립한다.
증명
$\mathbf{x} \in \ker T$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ T(T(\mathbf{x})) = T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} $$
따라서, $\mathbf{x} \in \ker T \implies \mathbf{x} \in \ker T^{2}$이다. $\mathbf{y} \in \im T^{2}$라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $\mathbf{x}_{1}$이 존재한다.
$$ T^{2} (\mathbf{x}_{1}) = \mathbf{y} $$
그런데 다음이 성립하므로, $\mathbf{y} \in \im T^{2} \implies \mathbf{y} \in \im T$이다.
$$ \mathbf{y} = T^{2}(\mathbf{x}_{1}) = T(T\mathbf{x}_{1}) = T(\mathbf{x}_{2}) $$
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멱영일 때
$T$는 $T^{s} = 0$을 만족하는 멱영변환, $k \lt s$이라 하자. 선형사상 $\phi$를 다음과 같이 정의하자.
$$ \begin{align*} \phi : \ker T^{k+1} &\to \im T^{k} \cap \ker T \\ \mathbf{v} &\mapsto T^{k}\mathbf{v} \end{align*} $$
그러면 $\phi$는 잘 정의되고, 전사surjective이다.
잘 정의됨
$\mathbf{v} \in \ker T^{k+1}$이라고 하자. $$ \mathbf{v} \in \ker T^{k+1} \implies T (T^{k} \mathbf{v}) = \mathbf{0} $$ 따라서 $T^{k} \mathbf{v} \in \ker T$이고, $T^{k} \mathbf{v} \in \im T^{k}$이다. $$ T^{k}\mathbf{v} \in \im T^{k} \cap \ker T $$
전사
$\mathbf{y} \in \im T^{k} \cap \ker T$라고 하자. 그러면 $\mathbf{y} \in \im T^{k}$이므로 $\mathbf{y} = T^{k}\mathbf{v}$인 $\mathbf{v}$가 존재한다. $\mathbf{y} \in \ker T$이므로, $T(T^{k}\mathbf{v}) = \mathbf{0}$이고 $\mathbf{v} \in \ker T^{k+1}$이다.
한편 $\phi$의 커널은 $\phi(\mathbf{v}) = T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0}$을 만족하는 $\mathbf{v}$들의 집합이므로 $\ker \phi = \ker T^{k}$이다. 이제 제1동형정리에 의해서 다음이 성립한다.
$$ \ker T^{k+1} / \ker \phi \cong \phi(\ker T^{k+1}) \implies \ker T^{k+1} / \ker T^{k} \cong \im T^{k} \cap \ker T \tag{1} $$
몫공간의 차원은 다음과 같다.
$$ \dim (\ker T^{k+1} / \ker T^{k}) = \dim(\ker T^{k+1}) - \dim(\ker T^{k}) = \dim (\im T^{k} \cap \ker T) \tag{2} $$
한편 $s$는 $T^{s} = 0$이 되는 가장 작은 정수이므로, $T^{s-1}\mathbf{w} \ne \mathbf{0}$인 $\mathbf{w}$가 존재한다. $\mathbf{u} = T^{s-k-1}\mathbf{w}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ T^{k}\mathbf{u} = T^{k}T^{s-k-1}\mathbf{w} = T^{s-1}\mathbf{w} \ne \mathbf{0} $$
$$ T(T^{k}\mathbf{u}) = T^{s}\mathbf{w} = \mathbf{0} $$
따라서 $(1)$의 우변은 $\im T^{k} \cap \ker T \ne \left\{ \mathbf{0} \right\}$이고, $(2)$의 우변은 $0$보다 크다는 것을 의미한다. 그러므로 다음의 결론을 얻는다.
$$ \dim (\ker T^{k+1}) \gt \dim (\ker T^{k}) $$
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