정부호 행렬의 성질
성질
정부호 행렬과 관련하여 다음이 성립한다.
(a) 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, $A^{\ast}A$는 양의 준정부호이다.
(b) 양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 항상 가역 행렬이다.
설명
(a) 에서 $A$가 실행렬일 땐 $A^{\mathsf{T}}A$라 두면 된다.
증명
(a)
$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} A \mathbf{x} = (\mathbf{x} A)^{\ast} A \mathbf{x} = (A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x}) $$
내적의 성질에 의해서 위 값은 $0$보다 크거나 같다.
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