직교 변환
정의
$n \times n$ 직교행렬 $A$에 대한 행렬변환 $T_{A}: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$를 직교 변환orthogonal transformation이라 한다.
$$ \mathbf{y} = T_{A}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} \quad (A^{\mathsf{T}}A = I) $$
설명
직교행렬이나 직교변환이나 수학적 본질은 같지만, 행렬이 아니라 변환이라 지칭했다는 것은 좀 더 함수의 관점에서 바라본다는 뜻이다. 직교행렬이 만족하는 성질들을 직교변환도 그대로 만족한다.
성질
(a) 직교변환은 선형변환이다.
(b) 직교변환은 내적(각도)을 보존한다. $$ \Braket{T_{A}\mathbf{x} , T_{A}\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} $$
(c) 직교변환은 놈(길이)을 보존한다. $$ \left\| T_{A} \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$