📂표현론

심플렉틱 군

배경¹

직교행렬이란 $Q^{\mathsf{T}}Q = I$를 만족하는 행렬을 말하며, 이 성질은 $Q$가 내적을 보존한다는 것과 동치이다. 이런 성질을 갖는 행렬들의 집합은 군이 되고(더 나아가 리 군이 됨), 이를 직교군이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \begin{align*} \operatorname{O}(n) &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}}Q = I \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \braket{Q\mathbf{x}, Q\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \end{align*} $$

내적은 대칭 쌍선형 형식의 한 종류인데, 직교군과 비슷하게 다른 연산을 보존하는 집합을 생각해볼 수 있다. 대칭 쌍선형 형식 $[\cdot, \cdot]_{n,k}$이 다음과 같이 주어졌다고 하자. $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n+k}$에 대해서,

$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} - \cdots - x_{n+k}y_{n+k} $$

이 연산을 보존하는 행렬들의 집합을 일반직교군이라 한다.

$$ \begin{align*} \operatorname{O}(n, k) &= \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q = \Lambda \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : [Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}]_{n, k} = [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n, k} \right\} \end{align*} $$

여기서 $\Lambda = \begin{bmatrix} I_{n} & O \\ O & -I_{k} \end{bmatrix}$이다. 심플렉틱 군 역시 위의 군들과 비슷하게 정의된다. 반대칭 쌍선형 형식 $\omega : \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자.

$$ \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) $$

이 연산을 보존하는 행렬들의 모임을 심플렉틱 군이라 정의한다.

정의

위의 표기법을 그대로 따라서, 심플렉틱 군^{simplectic group} $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$을 아래와 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega \right\} \tag{1} \\ &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) : \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \right\} \end{align*} $$

설명

혹은 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$이라 표기하기도 한다. 아래의 성질에 따라 위의 두 정의는 동치이다.

$\omega(\mathbf{x}, \mathbf{y})$를 내적으로 나타대면 $\braket{\mathbf{x}, \Omega \mathbf{y}}$와 같다. 여기서 $\Omega = \begin{bmatrix} O & I_{n} \\ -I_{n} & O \end{bmatrix}$이다.

$$ \begin{align*} \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) &= \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) \\ &= \Braket{\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ x_{n+1} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_{n+1} \\ \vdots \\ y_{2n} \\ -y_{1} \\ \vdots \\ -y_{n} \end{bmatrix}} \\ &= \Braket{\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ x_{n+1} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \\ y_{n+1} \\ \vdots \\ y_{2n} \end{bmatrix}} \\ &= \braket{\mathbf{x}, \Omega \mathbf{y}} \tag{2} \end{align*} $$

부분군

우선 $A \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$이면 $A^{-1} \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$임을 기억하자.

$$ A^{\mathsf{T}} \Omega A = \Omega \iff \Omega = (A^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega A^{-1} $$

부분군 판정법에 의해 $A, B \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$이면, $AB^{-1} \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$임을 보이면된다. $A, B \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$이라 하자. 그러면 $A$와 $B^{-1}$이 $(1)$을 만족하므로,

$$ (AB^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega (AB^{-1}) = (B^{-1})^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}} \Omega A B^{-1} = (B^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega B^{-1} = \Omega $$

따라서 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분군이다.

$$ \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$

행렬 리 군

$\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$은 $\operatorname{GL}(2n, \mathbb{R})$의 닫힌부분군이므로 행렬 리 군이 된다. 함수 $f: \operatorname{GL}(2n, \mathbb{R}) \to M_{2n \times 2n}(\mathbb{R})$을 다음과 같이 정의하자.

$$ f(Q) = Q^{\mathsf{T}} \Omega Q $$

그러면 $f$는 연속함수이다. 연속함수의 닫힌 집합에 대한 프리이미지는 닫힌 집합임을 기억하자. $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$일 필요충분조건이 $Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$이고, 닫힌집합 $\left\{ \Omega \right\}$의 프리이미지가 $f^{-1}(\left\{ \Omega \right\}) = \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$이므로, $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$은 $\operatorname{GL}(2n, \mathbb{R})$의 닫힌부분군이 되어 행렬 리 군이다.

복소행렬에 대해서

실수공간 위에서 정의했던 쌍선형 형식 $\omega$를 그대로 복소공간 $\mathbb{C}^{2n}$ 위에서 정의할 수 있다.

$$ \omega : \mathbb{C}^{2n} \times \mathbb{C}^{2n} \to \mathbb{C} \\[0.5em] \omega(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum_{i} u_{i}v_{n+i} - u_{n+i}v_{i} $$

이는 여전히 반대칭 쌍선형 형식이 되지만, 복소 켤레를 취하지 않기 때문에 복소공간 위에서의 내적은 되지 않는다는 것에 주의하자. 복소 심플렉틱 군^{complex symplectic group}은 다음과 같이 정의된다.

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : Q^{\ast} \Omega Q = \Omega \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \omega (Q \mathbf{u}, Q \mathbf{v}) = \omega (\mathbf{u}, \mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} \end{align*} $$

여기서 $A^{\ast}$는 $A$의 켤레전치이다. 복소 심플렉틱 군도 실수 심플렉틱 군과 같은 성질을 갖는다. 한편 복소행렬들의 집합 중에서 내적을 보존하는 집합은 따로 있는데, 유니터리군이다. 집합 $\operatorname{Sp}(n)$을 아래와 같이 정의하면, 복소공간 위의 내적과 쌍선형 형식 $\omega$를 둘 다 보존하는 행렬들의 집합이 되고 이를 컴팩트 심플렉틱 군이라 한다.

$$ \operatorname{Sp}(n) = \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) \cap \operatorname{U}(2n) $$

성질

(a) $\Omega^{-1} = -\Omega$이다.

(b) $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$에 대해서, $\det Q = \pm 1$이다.

(c) $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$일 필요충분조건은 $ Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$이다.

$$ \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \iff Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega $$

증명

(a)

블록행렬의 계산도 행렬곱처럼 수행하면 되므로,

$$ \Omega (-\Omega) = \begin{bmatrix} O & I_{n} \\ -I_{n} & O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} O & -I_{n} \\ I_{n} & O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{n} & O \\ O & I_{n} \end{bmatrix} $$

$$ \implies \Omega^{-1} = -\Omega $$

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(b)

성질 (c)에 의해 $Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$이므로, 행렬식의 성질에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \det(Q^{\mathsf{T}} \Omega Q) &= \det \Omega \\ \implies && \det Q^{\mathsf{T}} \det \Omega \det Q &= \det \Omega \\ \implies && (\det Q)^{2} &= 1 \\ \implies && \det Q &= \pm 1 \\ \end{align*} $$

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(c)

아래와 같이 어렵지 않게 보일 수 있다.

$$ \begin{align*} && Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) \\ \iff && \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) &= \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \\ \iff && \braket{Q \mathbf{x}, \Omega Q \mathbf{y}} &= \braket{\mathbf{x}, \Omega\mathbf{y}} \\ \iff && (Q \mathbf{x})^{\mathsf{T}} \Omega Q \mathbf{y} &= \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \Omega\mathbf{y} \\ \iff && \mathbf{x}^{\mathsf{T}} Q^{\mathsf{T}} \Omega Q \mathbf{y} &= \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \Omega\mathbf{y} \\ \iff && \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) \mathbf{y} &= 0 \quad\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \\ \iff && \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) \mathbf{y} &= \mathbf{0} \quad\forall \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \\ \iff && \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) &= O \\ \iff && Q^{\mathsf{T}} \Omega Q &= \Omega \\ \end{align*} $$

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