📂행렬대수

행렬의 수렴

정의¹

$\left\{ A_{n} \right\}$을 실수 (혹은 복소수) 행렬들의 수열이라고 하자. $\left\{ A_{n} \right\}$이 행렬 $A$로 수렴한다^converges는 것은 $A_{n}$의 각 성분들의 수열 $\left\{ [A_{n}]_{ij} \right\}$이 $A$의 성분 $[A]_{ij}$로 수렴한다는 것을 말한다.

$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A, \quad \text{if } \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}]_{ij} = [A]_{ij} \quad \forall i,j $$

$$ \left\{ A_{n} \right\} \to A \text{ as } n \to \infty, \quad \text{if } \left\{ [A_{n}]_{ij} \right\} \to [A]_{ij} \text{ as } n \to \infty \quad \forall i,j $$

설명

한마디로 성분별 수렴이 행렬의 수렴이다. 성분별 수렴으로 정의되기 때문에 실수열의 극한의 성질을 그대로 이어받는다.

성질

이하 $A$와 $B$는 맥락상 덧셈과 곱셈이 잘 정의되는 행렬들이라 하자. $\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A$와 $\lim\limits_{n \to \infty} B_{n} = B$에 대해서 다음이 성립한다.

(a) $\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A \iff \| A_{n} - A \| \to 0$

(b) $\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n} + B_{n})$

(c) $\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n} B_{n}) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right) \cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} B_{n} \right) = AB$

(d) 만약 $\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A$이면, $\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = A^{\ast}$

증명

(b)

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}+B_{n}]_{ij} &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( [A_{n}]_{ij} + [B_{n}]_{ij} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}]_{ij} + \lim\limits_{n \to \infty} [B_{n}]_{ij} \\ &= [A]_{ij} + [B]_{ij} = [A+B]_{ij} \end{align*} $$

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(c)

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}B_{n}]_{ij} &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k} [A_{n}]_{ik} [B_{n}]_{kj} \\ &= \sum_{k} [A]_{ik} [B]_{kj} \\ &= [AB]_{ij} \end{align*} $$

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(d)

켤레전치는 연속이고, 연속함수의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\ast} = A^{\ast} $$

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