벡터공간의 직합의 존재성
정리
차원이 $n \ge 2$인 벡터공간 $V$와 $V$의 부분공간 $W \lneq V$가 주어졌다고 하자. 그러면 $W$와 다른 부분공간 $U$가 존재하여 다음이 성립한다.
$$ V = W \oplus U $$
즉, $V$는 임의의 서로 다른 부분공간의 직합으로 나타낼 수 있다.
설명
정리에서의 $U$를 $W$의 여 부분공간complementary subspace라 부르기도 한다. $W$의 여부분공간이 유일한 것은 아니다. 예를 들어 $V = \mathbb{R}^{2}$이고 $W = \span \left\{ (1,0) \right\}$이라고 하자. 그러면 $W_{1} = \span \left\{ (0,1) \right\}$와 $W_{2} = \span \left\{ (1,1) \right\}$는 모두 $W$의 여부분공간이다. 즉, $\mathbb{R}^{2}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \mathbb{R}^{2} = \span \left\{ (1,0 ) \right\} \oplus \span \left\{ (0,1) \right\} = \span \left\{ (1,0) \right\} \oplus \span \left\{ (1,1) \right\} $$
정리에서 차원을 $n \ge 2$로 둔 이유는, $n = 1$인 경우에는 자명한 직합 $V = V \oplus \left\{ \mathbf{0} \right\}$만 존재하기 때문이다.
증명
$n$차원 벡터공간 $V$의 $k$차원 부분공간 $W$가 주어졌다고 하자. $W$의 기저를 $\left\{ w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{k} \right\}$라고 하자. 그러면 다음의 보조정리로부터 $V$의 기저 $\beta = \left\{ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{k}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n-k} \right\}$를 얻을 수 있다.
$W \le V$를 $n$차원 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. $\gamma = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$를 $W$의 기저라고 하자. 그러면 $\gamma$에 적당한 원소를 추가하여 $V$의 기저 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{v}_{k+1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$로 확장시킬 수 있다.
$u_{1}, \dots, u_{n-k}$는 선형독립이므로, $\left\{ u_{i} \right\}$는 이들로 생성되는 공간 $U$의 기저가 된다.
$$ U = \span \left\{ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k} \right\} $$
이제 이러한 $U$가 $W$의 여부분공간이 되어 $V = W \oplus U$를 만족함을 보일 것이다.
- 임의의 $v = w + u$를 만족하는 $w \in W$, $u \in U$가 존재한다.
- $W \cap U = \left\{ 0 \right\}$
- $V$와 $W$, $U$의 기저를 위와 같이 설정했으므로, 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} v &= a_{1}w_{1} + a_{2}w_{2} + \cdots a_{k}w_{k} + b_{1}u_{1} + b_{2}u_{2} + \cdots b_{n-k}u_{n-k} \\ &= \sum_{i} a_{i}w_{i} + \sum_{j}b_{j}u_{j} \end{align*} $$
- $W = \span \left\{ w_{1}, \dots, w_{k} \right\}$, $U = \span \left\{ u_{1}, \dots, u_{n-k} \right\}$이고, $\beta$는 $V$의 기저, 즉 선형독립이므로 $W \cap U = \left\{ 0 \right\}$이 성립한다.
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