군 표현의 직합
도입
두 벡터공간 $V_{1}$과 $V_{2}$가 주어졌다고 하자. 이 둘의 직합을 $V = V_{1} \oplus V_{2}$와 같이 나타내자. 그러면 $v \in V$는 $v = v_{1} + v_{2} (v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2})$로 유일하게 나타난다.
이제 군 $G$의 표현 $(\rho_{1}, V_{1})$를 생각해보자.
$$ \rho_{1} : G \to \operatorname{GL}(V_{1}) $$
$\rho_{1}$은 $g \in G$를 선형변환(=행렬) $\rho_{1}(g) : V_{1} \to V_{1}$로 대응시킨다. 마찬가지로 표현 $(\rho_{2}, V_{2})$에 대해서 $\rho_{2}(g) : V_{2} \to V_{2}$이다. 이를 바탕으로 두 표현의 직합을 다음과 같이 정의할 수 있다.
정의
군 $G$의 두 표현 $(\rho_{1}, V_{1})$과 $(\rho_{2}, V_{2})$의 직합direct sum을 $(\rho, V) = (\rho_{1} \oplus \rho_{2}, V_{1} \oplus V_{2})$와 같이 나타내고, 다음과 같이 정의한다.
$$ \begin{align*} \rho : G &\to \operatorname{GL}(V_{1} \oplus V_{2}) \\ g &\mapsto \rho(g) : V \to V \end{align*} $$
$$ \rho(g)(v) = \rho_{1}(g)(v_{1}) + \rho_{2}(g)(v_{2}), \quad \forall v = v_{1} + v_{2} \in V $$
일반화
표현 $(\rho_{i}, V_{i})$들의 직합 $(\rho, V) = (\bigoplus_{i} \rho_{i}, \bigoplus V_{i})$는 다음과 같이 정의된다.
$$ \rho(g) v = \sum_{i} \rho_{i}(g)(v_{i}), \quad \forall v = \sum_{i} v_{i} \in V $$
설명
역으로, 군 $G$의 표현 $(\rho, V)$에 대해서, $V = \bigoplus_{i} V_{i}$이고 각각의 $V_{i}$가 $\rho$-불변인 부분공간이라고 하자. 그러면 $\rho$는 $V_{i}$ 위의 표현 $\rho_{i}(g) = \rho(g)|_{V_{i}}$들의 직합으로 나타낼 수 있다.
$$ \rho = \bigoplus_{i} \rho_{i} = \bigoplus_{i} \rho(g)|_{V_{i}} $$
$\rho(g)$를 행렬로 표현하면 아래와 같다.
$$ \rho : g \mapsto \begin{bmatrix} [\rho_{1}(g)] & O \\ O & [\rho_{2}(g)] \end{bmatrix} $$
$$ [\rho(g)] = \begin{bmatrix} [\rho_{1}(g)] & O \\ O & [\rho_{2}(g)] \end{bmatrix} $$
사실상 행렬의 직합과 같다.
성질
(a) $G$의 두 표현의 직합도 $G$의 표현이다.
증명
(a)
$\rho(gh) = \rho(g)\rho(h)$임을 보이면 된다. 행렬 꼴로 보면 어렵지 않게 보일 수 있다. 대각행렬끼리의 곱도 대각행렬이므로,
$$ \begin{align*} \rho(g) \rho(h) &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(g) & O \\ O & \rho_{2}(g) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rho_{1}(h) & O \\ O & \rho_{2}(h) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(g)\rho_{1}(h) & O \\ O & \rho_{2}(g)\rho_{2}(h) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(gh) & O \\ O & \rho_{2}(gh) \end{bmatrix} \\ &= \rho(gh) \end{align*} $$
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