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수학에서 형식적 합 📂보조정리

수학에서 형식적 합

정의

집합 $S = \left\{ s_{1}, s_{2}, \cdots , s_{n} \right\}$과 체 $\mathbb{F}$에 대해서, 아래와 같은 표기법을 형식적 합formal sum이라 한다.

$$ \sum_{i} a_{i} s_{i} = a_{1} s_{1} + a_{2} s_{2} + \cdots + a_{n} s_{n}, \qquad \text{where } a_{i} \in \mathbb{F} $$

  • $S$는 유한집합이 아니어도 무관하다.
  • $\mathbb{F}$는 체가 아니어도 무관하다.

설명

$S$는 그저 집합일 뿐 어떤 대수적 구조도 갖지 않음에 주목하자. 즉 위의 정의에서 나타난 덧셈 기호 $+$는 이항연산이 아니다. $a_{1}s_{i} + \cdots + a_{n}s_{n}$라는 표현은 이것 자체로 전체가 하나의 대상이며, $a_{i}$와 $s_{i}$로 결정되는 어떤 것이다. 다시말해서 본질적으로는 $2n$개의 $a_{i}$, $s_{i}$들로 구분되는 순서쌍과 같다.

$$ a_{1}s_{i} + \cdots + a_{n}s_{n} \equiv (a_{1},s_{1},a_{2},s_{2},\cdots,a_{n},s_{n}) $$

덧셈 기호를 사용함으로서 얻는 장점으로는 $\sum$기호를 사용하여 간단히 표현할 수 있다는 것이다.

$$ \sum_{i} a_{i}s_{i} = (a_{1},s_{1},a_{2},s_{2},\cdots,a_{n},s_{n}) $$

또한 벡터공간을 생각해보면, 집합 $S$의 원소들의 형식적 합들의 집합을 아래와 같이 간단히 나타낼 수도 있다.

$$ \operatorname{span} (S) = \left\{ \sum_{i} a_{i}s_{i} : a_{i} \in \mathbb{F}, s_{i} \in S \right\} $$

$\mathbb{F}S$나 $\mathbb{F}[S]$와 같이 표기하기도 한다. 위 식에 의해 $S$를 기저로 볼 수 있고, $\mathbb{F}[S]$는 $S$로 부터 생성되는 형식적인 벡터공간이라 볼 수 있다. 형식적이라고 표현한 이유는 $\mathbb{F}[S]$ 내의 벡터들 끼리의 실질적인 덧셈이 정의된 것은 아니기 때문이다.

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