수학에서 잘 정의됨이라는 표현
용어
수학에서 잘 정의됨well-defined이라는 표현은, 해당 대상을 모호하지 않고 객관적이고 분명하게 인식할 수 있을 때 사용한다.
설명
잘 정의된 함수
"잘 정의됨"이라는 표현은 주로 함수에 대해서 사용한다. 두 집합 $X$와 $Y$에 대해서, $X$에서 $Y$로의 함수라는 것은 각각의 $X$의 원소에 오로지 하나의 $Y$의 원소를 대응시키는 관계를 의미한다. 즉 잘 정의된 함수well-defined function라는 것은 다음의 두 조건을 만족하는 것을 가리킨다.
- 정의역 $X$의 모든 원소 $x$에 대해서, 함숫값 $f(x)$가 존재한다.
- $x_{1} \sim x_{2}$이면, $f(x_{1}) = f(x_{2})$이다.
여기서 $\sim$은 동치관계이다. 즉 같은 대상이지만 표현을 달리 했을 때도 대응되는 함숫값이 같아야한다는 의미이다. 각각의 조건이 위배되는 예시를 구체적으로 보자.
- $X = [0, 1]$, $Y = \mathbb{R}$에 대해서, $f : X \to Y$를 $f(x) = \dfrac{1}{x}$이라고 하면, $f(0)$의 값이 존재하지 않으므로, $f$는 잘 정의된 함수가 아니다.
- $X = \mathbb{Q}$, $Y = \mathbb{R}$에 대해서, $f : X \to Y$를 $f(\frac{a}{b}) = a$와 같이 두자. 그러면 $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$이지만 각각에 대응되는 함숫값은 서로 같지 않다. $$ f(\textstyle \frac{1}{2}) = 1 \ne 3 = f(\frac{3}{6}) $$ 따라서 이러한 $f$는 잘 정의된 함수가 아니다.
잘 정의된 연산
결합법칙을 만족하지 않는 이항연산을 가지고 삼항식을 만들면 해당 연산은 잘 정의되지 않는다. 가령 덧셈이나 곱셈의 경우 결합법칙이 성립하기 때문에 아래와 같이 적었을 때, 첫번째나 두번째 계산 중 무엇을 먼저하든 답이 바뀌지 않는다.
$$ 1 + 2 + 3 = 6, \qquad 2 \times 3 \times 4 = 24 $$
하지만 나눗셈의 경우에는 아래의 예와 같이 둘 중 어느 연산을 먼저 하느냐에 따라서 답이 달라지게 된다.
$$ \frac{1}{8} \overset{?}{=} 1 \div 2 \div 4 \overset{?}{=} 2 $$
따라서 위 식은 잘 정의되어있지 않으며, 괄호를 사용하여 의도하는 바를 명확하게 표기하거나 곱하기 기호만 사용하는 것이 좋다.
$$ \frac{1}{8} = (1 \div 2) \div 4, \qquad 1 \div (2 \div 4) = 2 $$
유명한 어그로인 $48 \div 2(9 + 3) = ?$과 같은 경우도 잘 정의되지 않은 문제라고 볼 수 있고, 따라서 답이 무엇인지 논의하는 것은 시간 낭비이다. 괄호 잘 치고 넘어가자.