📂추상대수

군의 중심

정의¹

군 $G$의 모든 원소와 교환가능한 원소들의 집합을 $Z(G)$와 같이 나타내고 이를 $G$의 중심^{center of $G$}라 한다.

$$ Z(G) := \left\{ a \in G : ax = xa \quad \forall x \in G \right\} $$

설명

표기법이 $Z$인 이유는 독일어로 중심이라는 뜻을 가진 단어 Zentrum에서 따왔기 때문이다. 정의에 따라 $G$가 가환인지 아닌지에 무관하게, $Z(G)$는 가환군이다. 또한 자명하게도 가환군 $G$의 중심은 $G$ 자체이다.

$$ Z(G) = G\quad \text{ if } G \text{ is Abelian.} $$

중심의 원소가 항등원 밖에 없으면, 자명하다고 한다. 예를 들어 $S_{3}$의 중심은 자명하다(아래 참고).

정규부분군과의 비교

정규부분군

부분군 $H$가 아래의 성질을 만족하면 $G$의 정규부분군이라 한다.

$$ gH = Hg \quad \forall g \in G $$

군의 중심은 정규부분군과 많이 닮아있고, 실제로 중심은 정규부분군이기도 하다. 이 둘의 차이는, 중심은 모든 원소를 기준으로 등식이 성립해야하는 반면, 정규부분군은 집합의 단위에서만 등식이 성립해도 된다는 것이다. 즉, 중심의 정의가 더 빡세다.

대칭군 $S_{3}$를 예로 보자. 이의 각 원소를 다음과 같이 표기하자.

$$ e = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \alpha = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \quad \alpha^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$ $$ \beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad \alpha\beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad \alpha^{2}\beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} $$

여기에서 모든 원소와 교환가능한 것은 항등원 밖에 없으므로, $S_{3}$의 중심은 자명하다.

$$ Z(S_{3}) = \left\{ e \right\} $$

반면 정규부분군은 교대군 $A_{3}$이다.

$$ A_{3} = \left\{ e, \alpha, \alpha^{2} \right\} \lhd S_{3} $$

아래의 사실들을 짚고 넘어가자.

• 중심은 가장 작은 정규부분군인가? $\to \text{(X)}$
  임의의 가환군 $G$에 대해서, $Z(G) = G$인데, 이 경우에 $\left\{ e \right\}$가 정규부분군이므로 중심은 가장 작은 정규부분군이 아니다.

• 중심은 가장 작은 비자명 정규부분군인가? $\to \text{(X)}$
  위의 예시 $S_{3}$에서 보이듯이 중심이 자명한 정규부분군과 같을 수 있다.

성질

• 대칭군 $S_{n}$의 경우 $n \ge 3$이면 $Z(S_{n}) = \left\{ e \right\}$이다.
• 교대군 $A_{n}$의 경우 $n \ge 4$이면 $Z(A_{n}) = \left\{ e \right\}$이다.
• 정이면체군 $D_{n}$의 경우 $n \ge 3$일 때, $n$이 짝수이면 $Z(D_{n}) = \left\{ R_{0}, R_{180} \right\}$, $n$이 홀수이면 $Z(D_{n}) = \left\{ R_{0} \right\}$이다.

정리

(ㄱ) $Z(G)$는 가환군이다.

(ㄴ) $G$가 가환군이면, $Z(G) = G$이다. 역도 성립한다.

(a) 군 $G$의 중심 $Z(G)$는 $G$의 부분군이다.

$$ Z(G) \le G $$

(b) $Z(G)$는 $G$의 정규부분군이다.

$$ Z(G) \lhd G $$

증명

(a)

부분군 판정법

군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서, 다음의 두 조건을 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.

1. $a$, $b \in H \implies ab \in H$
2. $a \in H \implies a^{-1} \in H$

1단계: $Z(G) \ne \emptyset$

항등원의 정의에 의해서, 임의의 군 $G$에 대해 항상 $e \in Z(G)$가 성립하므로 $Z(G)$는 공집합이 아니다.

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2단계: $a, b \in Z(G) \implies ab \in Z(G)$

$a, b \in Z(G)$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ (ab)x = a(bx) = (bx)a = b(xa) = (xa)b = x(ab) $$

따라서 $ab \in Z(G)$이다.

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3단계: $a \in Z(G) \implies a^{-1} \in Z(G)$

$a \in Z(G)$라 하자. 그러면 $ax = xa$가 성립한다. 양변의 앞뒤에 $a^{-1}$를 취해주면,

$$ \begin{align*} && a^{-1}(ax)a^{-1} &= a^{-1}(xa)a^{-1} \\ \implies && (a^{-1}a)xa^{-1} &= a^{-1}x(aa^{-1}) \\ \implies && xa^{-1} &= a^{-1}x \\ \implies && a^{-1}x &= xa^{-1} \end{align*} $$

따라서 $a^{-1} \in Z(G)$이다.

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(b)

정규부분군의 정의에 의해 자명하다.

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