📂추상대수

추상대수학에서 위수

정의¹

군의 위수

군 $G$의 원소의 개수를 위수^order라 하고 $|G|$ 혹은 $\operatorname{ord}(G)$와 같이 나타낸다.

원소의 위수

군 $G$의 원소 $g$에 대해서, 아래의 식을 만족하는 가장 작은 정수 $n$을 $g$의 위수^order라 한다.

$$ g^{n} = e $$

이때 $e \in G$는 항등원이다. 이러한 정수가 존재하지 않으면, $g$가 무한 위수^{infinite order}를 갖는다고 한다. $g$의 위수를 $|g|$혹은 $\operatorname{ord}(g)$와 같이 표기한다.

성질

$|G|$가 유한하면, $G$를 유한군^{finite group}이라 한다.

• 군 $G$와 두 원소 $a, b \in G$에 대해서 $|ab| = |ba|$가 성립한다.

• 순환군 $\braket{a}$의 경우 다음이 성립한다. $$ \vert\!\braket{a}\!\vert = |a| $$

• 라그랑주 정리: 부분군 $H \le G$의 위수는 $G$의 위수를 나눈다. $$ |H| \mid |G| $$