📂추상대수

켤레류

정의¹

군 $G$의 원소 $a$와 $b$에 대해, 어떤 $x \in G$가 존재하여 $xax^{-1} = b$를 만족할 때, $a$와 $b$가 켤레^{$a$ and $b$ are conjugate} 관계에 있다고 말한다. 혹은 $b$를 $a$의 켤레^{conjugate of $a$}라 한다.

$a$의 모든 켤레들의 집합을 켤레류^{conjugacy class}라 하고 $\operatorname{cl}(a)$와 같이 나타낸다. $$ \operatorname{cl}(a) := \left\{ xax^{-1} : x \in G \right\} $$

설명

항등원 $e \in G$에 대해서, 항상 $e a e^{-1} = a$가 성립하므로 켤레류에는 항상 자기 자신이 포함된다. 즉 모든 켤레류는 공집합이 아니다.

$$ a \in \operatorname{cl}(a) $$

정리

(a) 켤레는 $G$ 위의 동치 관계이다.

(b) 유한군 $G$와 $a \in G$에 대해서 다음이 성립한다. $$ |\operatorname{cl}(a)| = |G : C(a)| $$ 이때 $C(a)$는 중심화, $|G : C(a)|$는 인덱스이다.

(b')

$|\operatorname{cl}(a)|$는 $|G|$의 약수이다.

$$ |\operatorname{cl}(a)| = |G| / |C(a)| $$

증명

(a)

$x a x^{-1} = b$를 만족하는 $a$와 $b$를 순서쌍 $(a,b)$로 나타내고, $R = \left\{ (a,b) : xax^{-1} = b \right\}$라 하자.

군 $G$ 위의 동치 관계 $R$이란 다음을 만족하는 집합이다.

1. $(a, a) \in R$ $\forall a \in G$
2. $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$
3. $(a, b) \in R$, $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$

1. 항등원 $e$와 모든 $a \in G$에 대해서 $eae^{-1} = a$이므로 $(a, a) \in R$이 성립한다.

2. $(a, b) \in R$이면 $xax^{-1} = b$가 성립한다. $y = x^{-1}$라 하면 다음이 성립한다. $$ yby^{-1} = y(xax^{-1})y^{-1} = x^{-1}xaxx^{-1} = a \implies (b,a) \in R $$

3. $(a, b) \in R$, $(b, c) \in R$이면 $xax^{-1} = b$와 $yby^{-1} = c$가 성립한다. $z = yx$라 하면 다음이 성립한다. $$ c = yby^{-1} = y(xax^{-1})y^{-1} = (yx)a(x^{-1}y^{-1}) = (yx) a (yx)^{-1} = zaz^{-1} $$ $$ \implies (a,c) \in R $$

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(b)

다음과 같은 함수가 잘 정의되고, 전단사인 것을 보임으로써 증명한다. 고정된 $a \in G$에 대해,

$$ \begin{align*} \phi : G/C(a) &\to \operatorname{cl}(a) \\ xC(a) &\mapsto xax^{-1} \end{align*} $$

이때 $G/C(a)$는 몫군이다.

$\phi$가 잘 정의됨

모든 $x \in G$에 대해서 함숫값 $\phi(xC(a)) = xax^{-1}$가 존재한다. 또한 잉여류의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} x_{1}C(a) = x_{2}C(a) &\iff x_{1}x_{2}^{-1} \in C(a) \\ &\iff x_{1}^{-1}x_{2}a = ax_{1}^{-1}x_{2} \\ &\iff x_{1}^{-1}x_{2}ax_{2}^{-1} = ax_{1}^{-1} \\ &\iff x_{2}ax_{2}^{-1} = x_{1}ax_{1}^{-1} \\ \end{align*} $$

따라서 $\phi$는 잘 정의된다.

$\phi$는 일대일이다.

$\phi$가 일대일 함수인 것은 위의 수식에서 같이 증명되었다.

$\phi$는 전사이다.

모든 $xax^{-1} \in \operatorname{cl}(a)$에 대해, $xC(a) \in G/C(a)$가 존재한다. 따라서 $\phi$는 전사이다.

결론

함수 $\phi : G/C(a) \to \operatorname{cl}(a)$가 전단사이므로, 두 집합의 위수는 같다.

$$ |\operatorname{cl}(a)| = |G/C(a)| = |G : C(a)| $$

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