특수직교군
정의
행렬식이 $+1$인 $n \times n$ 직교행렬들의 집합을 $\operatorname{SO}(n)$이라 표기하고 $n$차원 특수직교군special orthogonal group이라 한다.
$$ \operatorname{SO}(n) := {\left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}}Q = I \quad\text{and}\quad \det(Q) = +1 \right\}} $$
설명
| 종류 \ 조건 | 가역행렬 | 행렬식=1 | 직교성 | 공간 |
|---|---|---|---|---|
| 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ❌ | ❌ | $\mathbb{R}$ |
| 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ✅ | ❌ | $\mathbb{R}$ |
| 직교군 $\operatorname{O}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ | $\mathbb{R}$ |
| 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ | $\mathbb{R}$ |
| 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ | $\mathbb{C}$ |
| 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ | $\mathbb{C}$ |
직교행렬의 행렬식은 $+1$이거나 $-1$이고, 그러한 행렬을 모두 모은 집합을 직교군이라 한다.
$$ \operatorname{O}(n) = \left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : A^{\mathsf{T}}A = I \right\} $$
$\operatorname{SO}(n)$은 이 중에서 행렬식이 $+1$인 행렬들의 집합은이다.
행렬식이 $+1$인 행렬들은 회전행렬이므로, 특수직교군이란 회전행렬들의 집합을 말한다. 그래서 회전군rotation group이라고도 불린다. 저차원에서 특수직교군은 아래와 같다.
- $\operatorname{SO}(1) \cong \left\{ 1 \right\}$
- $\operatorname{SO}(2) \cong$ $S^{1}$
- $\operatorname{SO}(3) \cong \mathbb{P}^{3}$
위에서 주목할 점은 $\operatorname{SO}(2)$는 $1$차원 공간인 반면, $\operatorname{SO}(3)$은 $3$차원 공간이라는 것이다. 평면 위에서의 회전은 변수 $1$개로 표현할 수 있는데, $3$차원 공간은 세 개의 평면($xy–$평면, $yz–$평면, $zx–$평면)으로 구성되어 있기 때문에 변수가 $3$개 필요하다.
2차원
2차원 회전군 $\operatorname{SO}(2)$는 구체적으로 다음과 같다.
$$ \operatorname{SO}(2) = \left\{ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} : \theta \in \mathbb{R} \right\} $$
이는 단위원 위의 점들과 동형이다.
$$ \operatorname{SO}(2) \cong S^{1} $$
부분 군
두 직교행렬의 곱은 직교행렬이고, 다음이 성립하므로 $\operatorname{SO}(n)$은 행렬곱에 대해서 닫혀있다.
$$ \det(AB^{-1}) = \det(A)\det(B^{-1}) = 1 \cdot 1 = 1 $$
부분군 판정법에 의해서 $\operatorname{O}(n)$은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분군이다. $A, B \in \operatorname{SO}(n)$에 대해서,
$$ AB^{-1} = AB^{\mathsf{T}} \text{ is orthogonal and} $$
$$ \implies \operatorname{SO}(n) \le \operatorname{O}(n) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$
행렬 리 군
$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군을 행렬 리 군이라 한다. $\operatorname{SO}(n)$의 수열 $\left\{ A_{n} \right\}$이 $A$로 수렴한다고 하자. 전치는 연속이므로 $\left\{ (A_{n})^{\mathsf{T}} \right\}$는 $A^{\mathsf{T}}$로 수렴한다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\mathsf{T}} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\mathsf{T}} = A^{\mathsf{T}} $$
행렬 극한의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ A^{\mathsf{T}}A = \left( \lim_{n \to \infty} (A_{n})^{\mathsf{T}} \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} A_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} ((A_{n})^{\mathsf{T}}A_{n}) = \lim_{n \to \infty} I = I $$
행렬식은 연속이므로 다음이 성립한다. $$ \det(A) = \det\left( \lim_{n \to \infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} \det(A_n) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 $$
따라서 $A \in \operatorname{SO}(n)$이고, $\operatorname{SO}(n)$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이므로 행렬 리 군이다.
컴팩트 리 군
특수직교군의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ A \in \operatorname{SO}(n) \implies A^{\mathsf{T}}A = I \implies \sum\limits_{i}^{n}a_{ij}^{2} = 1, \quad \forall 1 \le j \le n $$
따라서 어떤 $a_{ij}$의 절댓값도 $1$보다 클 수 없다.
$$ |a_{ij}| \le 1 $$
그러므로 $A \in \operatorname{SO}(n)$은 유계이다. $\operatorname{SO}(n)$이 닫혀있고 유계이므로 컴팩트 리 군이다.