특수직교군

정의

행렬식이 $+1$인 $n \times n$ 직교행렬들의 집합을 $\operatorname{SO}(n)$이라 표기하고 $n$차원 특수직교군^{special orthogonal group}이라 한다.

$$ \operatorname{SO}(n) := {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : AA^{T} = I \quad\text{and}\quad \det(A) = +1 \right\}} $$

설명

기본적으로 직교행렬은 행렬식이 $+1$이거나 $-1$이다. 이 중에서 행렬식이 $+1$인 것들은 회전행렬이므로, 특수직교군이란 회전행렬들의 집합을 말한다. 그래서 회전군^{rotation group}이라고도 불린다. 저차원에서 특수직교군은 아래와 같다.

$\operatorname{SO}(1) \cong \left\{ 1 \right\}$
$\operatorname{SO}(2) \cong$ $S^{1}$
$\operatorname{SO}(3) \cong \mathbb{P}^{3}$

위에서 주목할 점은 $\operatorname{SO}(2)$는 $1$차원인 반면, $\operatorname{SO}(3)$은 $3$차원이라는 것이다. 평면 위에서의 회전은 변수 $1$개로 표현할 수 있는데, $3$차원 공간은 세 개의 평면($xy–$평면, $yz–$평면, $zx–$평면)으로 구성되어 있기 때문에 변수가 $3$개 필요하다.

2차원

2차원 회전군 $\operatorname{SO}(2)$는 구체적으로 다음과 같다.

$$ \operatorname{SO}(2) = \left\{ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} : \theta \in \mathbb{R} \right\} $$

이는 단위원 위의 점들과 동형이다.

$$ \operatorname{SO}(2) \cong S^{1} $$