작용소 놈
정의
$X$와 $Y$를 놈 공간이라 하자. $T : X \to Y$를 두 공간 사이의 유계 선형 작용소라고 하자. 아래와 같은 $\| \cdot \|$를 작용소 놈operator norm이라 한다.
$$ \| T \| := \inf\limits_{x \in X} \left\{ C : \| T x \| \le C \| x \| \right\} $$
설명
각각의 놈에 대한 표기를 정확하게 하자면 다음과 같이 적을 수 있다. 놈 공간 $(X, \| \cdot \|_{X})$와 $(Y, \| \cdot \|_{Y})$에 대해서,
$$ \| T \|_{\text{op}} := \inf\limits_{x \in X} \left\{ C : \| T x \|_{Y} \le C \| x \|_{X} \right\} $$
위와 같이 표기하면 오해의 여지 없이 정확하게 표현할 수 있지만 가독성은 상대적으로 떨어진다. $\| \cdot \|$안에 들어있는 원소로 구별이 가능하기 때문에 간단히 적는 경우도 많다.
정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \| T x \| \le \| T \| \| x \|, \quad \forall x \in X $$
$x \ne 0$이면 위 식은 $\dfrac{\| T x \|}{\| x \|} \le \| T \|$이므로, $T$의 작용소 놈은 $T$가 벡터를 얼마나 늘리는지에 대한 상한을 나타낸다. 이를 조금 더 직관적으로 보여주는 정의는 다음과 같다. $\| x \| = 1$인 $x$에 대해서 보면, $\| Tx \| \le \| T \|$이므로, 작용소 놈의 정의는 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$ \| T \| := \sup\limits_{\substack{x \in X \\ \| x \| = 1}} \| T x \| $$
성질
(a) $B(X, Y)$를 $X$에서 $Y$로 가는 모든 유계 선형 작용소의 집합이라고 하자. $$ B(X, Y) = \left\{ T : X \to Y \mid T \text{ is a bounded linear operator} \right\} $$ 그럼 $(B(X, Y), \| \cdot \|_{\text{op}})$는 놈 공간이 된다. $Y$가 바나흐 공간이면, $(B(X, Y), \| \cdot \|_{\text{op}})$도 바나흐 공간이 된다.
(b) $T_{1} : X \to Y$와 $T_{2} : T_{1}(Y) \to Z$에 대해서 다음이 성립한다. $$ \| T_{2}T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$ 이에 대한 따름정리로서 다음이 성립한다. $T \in B(X, X)$에 대해서,
$$ \| T^{n} \| \le \| T \|^{n}, \quad n \in \mathbb{N} $$
증명
(a)
여기를 참고하라.
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(b)
우선 $T_{2}$의 작용소 놈의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \| T_{2}T_{1} x \| = \| T_{2}(T_{1} x) \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} x \| $$
그런데 $\| T_{1} x \| \le \| T_{1} \| \| x \|$이므로, 다음을 얻는다.
$$ \| T_{2}T_{1} x \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} x \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| \| x \| $$
$\| T_{2}T_{1} \|$는 $\| T_{2}T_{1} x \| \le C \| x \|$를 만족하는 최소의 $C$이므로,
$$ \| T_{2}T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$
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