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영 작용소

정의

놈 공간 $X$와 $Y$에 대해서, 아래와 같은 작용소 $0_{\text{op}} : X \to Y$를 영 작용소^{zero operator}라 한다.

$$ 0_{\text{op}} : x \to 0_{Y}, \quad \forall x \in X $$

$0_{Y}$는 $Y$의 영 벡터이다.

설명

보통의 경우에서 영 작용소나 영 벡터나 표기법을 구분하지는 않으나, 여기서는 명확한 설명을 위해서 다음과 같이 표기한다.

• $0_{\text{op}}$: 영 작용소
• $0_{Y}$: 벡터공간 $Y$의 영 벡터
• $0$: 숫자 영

영 작용소는 유계 선형 작용소들의 집합 $$ B(X, Y) = \left\{ T : X \to Y \mid T \text{ is a bounded linear operator} \right\} $$ 의 원소이며, 특히 벡터공간으로서의 $B(X, Y)$에서 영 벡터이다.

영 작용소의 수반 작용소 역시 영 작용소이다. 두 영 작용소 $0_{YX} : X \to Y$와 $0_{XY} : Y \to X$에 대해서,

$$ \braket{0_{YX}x , y}_{Y} = 0 = \braket{x, 0_{XY}y}_{X} $$

정리¹

내적공간 $X$와 $Y$에 대해서, $Q : X \to Y$를 유계 선형 작용소라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$(a)$ $Q = 0_{\text{op}}$인 것의 필요충분조건은 모든 $x \in X$, $y \in Y$에 대해서$\braket{Qx, y} = 0$인 것이다.

$(b)$ 복소벡터공간 $X$에 대해서, $Q : X \to X$가 모든 $x \in X$에 대해서 $\braket{Qx, x} = 0$이면, $Q = 0_{\text{op}}$이다.

증명

$(a)$

$(\implies)$ $\forall y \in Y$, $\braket{0_{Y}, y} = 0$이므로 자명하다.

$(\impliedby)$ 모든 $x \in X$와 $y \in Y$에 대해서 $\braket{Qx, y} = 0$이라 가정하자. 그럼 어떤 $x^{\prime} \in X$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \braket{Qx^{\prime}, y} = 0, \quad \forall y \in Y $$

그러면 영벡터의 성질에 의해서 $Qx^{\prime} = 0_{Y}$이다.

영벡터의 성질

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

임의의 $x^{\prime}$에 대해서 $Qx^{\prime} = 0_{Y}$이므로 $Q = 0_{\text{op}}$이다.

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$(b)$

가정에 의해서 모든 $v = \alpha x + y \in X$에 대해서 $\braket{Qv, v} = 0$이다. 이를 전개하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} 0 &= \braket{Qv, v} \\ &= \braket{Q(\alpha x + y), \alpha x + y} \\ &= |\alpha|^{2}\braket{Qx, x} + \alpha\braket{Qx, y} + \overline{\alpha}\braket{Qy, x} + \braket{Qy, y} \end{align*} $$

가정에 의해 첫번째와 마지막 항은 $0$이다.

$$ \alpha\braket{Qx, y} + \overline{\alpha}\braket{Qy, x} = 0 $$

이는 임의의 $\alpha \in \mathbb{C}$에 대해서 성립해야하므로, $\alpha = 1$과 $\alpha = i$로 두면 다음의 식을 얻는다.

$$ \braket{Qx, y} + \braket{Qy, x} = 0 $$

$$ \braket{Qx, y} - \braket{Qy, x} = 0 $$

$$ \implies \braket{Qx, y} = 0 \quad \forall x, y \in X $$

$(a)$에 의해, $Q = 0_{\text{op}}$이다.

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