📂힐베르트공간

리즈 동형 사상

도입

벡터공간 $V$를 힐베르트 공간이라고 하자. $V^{\ast}$를 $V$의 쌍대공간이라고 하자. 그러면 리즈 표현 정리에 의해 임의의 $f \in V^{\ast}$는 유일한 $\mathbf{v} \in V$에 대해서 다음과 같이 표현된다.

$$ f = \braket{\cdot, \mathbf{v}} $$

다시 말해 $f \in V^{\ast}$를 하나 선택하면 $\mathbf{v} \in V$가 유일하게 하나 결정된다. 반대로 $\mathbf{v} \in V$를 하나 선택하면 $\braket{\cdot, \mathbf{v}} = f \in V^{\ast}$가 유일하게 하나 결정된다. 즉 $V$가 힐베르트 공간이면 $V$와 $V^{\ast}$ 사이에 일대일 대응이 존재한다.

정의

힐베르트 공간 $V$와 그 쌍대공간 $V^{\ast}$ 사이의 다음과 같은 동형변환을 리즈 동형 사상^{Reisz isomorphism}이라고 한다.

$$ \begin{align*} \phi_{V} : V &\to V^{\ast} \\ \mathbf{v} &\mapsto \braket{\cdot, \mathbf{v}} \end{align*} $$

설명

이러한 동형사상은 $V$가 힐베르트 공간일 때만 존재한다는 것에 주의하자. $\phi_{V}$는 동형사상이므로 역함수가 존재한다.

$$ \begin{align*} \phi_{V}^{-1} : V^{\ast} &\to V \\ \braket{\cdot, \mathbf{v}} &\mapsto \mathbf{v} \end{align*} $$