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2026 겨울 오마카세: 리그오브레전드 속의 수학

소개

게임은 본질적으로 수많은 숫자와 연산 위에 지어진 가상 세계입니다. 플레이어는 화려한 그래픽과 타격감에 몰입하지만, 그 이면에서는 정교한 수식들이 톱니바퀴처럼 맞물려 게임의 밸런스를 지탱하고 있습니다. 우리는 흔히 "수치가 2배 늘어나면 효과도 2배 좋아지겠지"라는 선형적인 직관을 갖습니다. 하지만 게임 개발자들은 때로는 이 직관을 의도적으로 비틀거나, 혹은 복잡한 비선형 함수를 도입하기도 합니다. 이번 '2026 겨울 오마카세'의 메인 디시는 리그오브레전드의 능력치 설계입니다.

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스킬 가속

리그오브레전드(LoL)에서 스킬 가속^{ability haste (AH)} 능력치는 스킬의 재사용 대기 시간을 줄여주는 중요한 요소입니다. 스킬 가속을 통해 플레이어는 더 자주 스킬을 사용할 수 있어 전투에서 유리한 위치를 차지할 수 있습니다. 스킬 가속 수치에 따른 스킬의 재사용 대기시간 감소량 공식은 다음과 같습니다. 재사용 대기시간 기본값이 $t$이고, 스킬가속이 $\text{AH}$일 때 새로운 재사용 대기시간 $t'$은 다음과 같이 계산됩니다.¹

$$ t' = t \times \frac{100}{100 + \text{AH}} $$

따라서 재사용 대기시간 감소율^{cooldown reduction (CDR)} $\text{CDR} (\%)$은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$ \text{CDR} = \left(1 - \frac{t'}{t}\right) \times 100 = \left(1 - \frac{100}{100 + \text{AH}}\right) \times 100 = \frac{\text{AH}}{100 + \text{AH}} \times 100 $$

달성하고 싶은 재사용 대기시간 감소율이 있다면, 위 식의 $\text{CDR}$에 원하는 값을 대입하여 필요한 스킬 가속 $\text{AH}$를 구할 수 있습니다. 식을 $\text{AH}$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

$$ \text{AH} = \frac{ 100 \times \text{CDR}}{100 - \text{CDR}} $$

그래프 개형을 보면 목표 감소율에 따른 필요 스킬가속수치가 지수적으로 증가하는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, $50\%$의 재사용 대기시간 감소를 위해서는 $100$의 스킬가속이 필요하지만, $90\%$의 감소를 위해서는 무려 $900$의 스킬가속이 필요합니다. 비정상적으로 높은 재사용 대기시간 감소율을 달성하지 못하도록 설계된 시스템임을 알 수 있습니다.

그런데 스킬 가속 수치 그 자체를 직관적으로 이해하기 위해서는, 스킬의 재사용 대기시간이 아니라 단위 시간당 스킬 사용 횟수로 생각하는 것이 더 쉽습니다. 재사용 대기시간 $t$가 스킬을 한 번 사용하는데 걸리는 시간이므로, 단위 시간당 스킬 사용 횟수 $N$은 이의 역수로 표현할 수 있습니다. 마치 진동수^frequency와 주기^period가 서로 역수 관계인 것과 같습니다.

$$ N = \frac{1}{t} $$

그러면 스킬가속 $\text{AH}$가 적용된 단위 시간당 스킬 사용 횟수 $N'$과 $N$의 관계는 아래와 같습니다.

$$ \dfrac{N'}{N} = \dfrac{t}{t'} = \dfrac{100 + \text{AH}}{100} $$

위 식에 따르면 스킬가속이 $50$이면, 단위 시간당 스킬 사용 횟수가 $50\%$ 증가하고 ($=1.5$배), 스킬가속이 $100$이면 단위 시간당 스킬 사용 횟수가 $100\%$ 증가 ($=2$배)가 됩니다. 즉 스킬 가속이란, 단위 시간당 스킬 사용 횟수 증가율과 같습니다.

방어력

LOL에서 방어력^{armor (AR)}은 물리 피해를 감소시키는 역할을 합니다. 방어력 수치에 따른 물리 피해 감소율 공식은 위의 스킬가속과 같습니다. 물리 피해량이 $D$이고, 방어력이 $\text{AR}$일 때 실제로 받는 물리 피해량 $D'$와 물리 피해 감소율^{physical damage reduction (PDR)}은 다음과 같이 계산됩니다.

$$ D' = D \times \frac{100}{100 + \text{AR}}, \qquad \text{PDR} = \left(1 - \frac{D'}{D}\right) \times 100 = \frac{\text{AR}}{100 + \text{AR}} \times 100 $$

물리 피해 감소율 $\text{PDR}$의 정의에 따르면, $\dfrac{\text{AR}}{100 + \text{AR}} \lt 1$이므로, 방어력을 아무리 높혀도 물리 피해를 $100\%$ 상쇄시킬 수는 없습니다.

방어력에 따른 물리 피해 감소율의 효율성을 직관적으로 보고싶다면 이를 미분해보면 됩니다. $\text{PDR}$의 미분계수를 구해보면, 미분의 성질 $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$에 의해 다음과 같이 계산됩니다.

$$ \begin{align*} \frac{d (\text{PDR})}{d (\text{AR})} &= \left( \frac{\text{AR}}{100 + \text{AR}} \times 100 \right)^{\prime} \\ &= 100 \left( \frac{\text{AR}}{100 + \text{AR}} \right)^{\prime} \\ &= 100 \left( \frac{1 \cdot (100 + \text{AR}) - \text{AR} \cdot 1}{(100 + \text{AR})^2} \right) \\ &= 100 \left( \frac{100}{(100 + \text{AR})^2} \right) \\ &= \frac{10000}{(100 + \text{AR})^2} \end{align*} $$

이는 $y = \dfrac{1}{x^2}$ 꼴의 유리함수이고, 분모에 제곱항이 포함되어있어 방어력이 증가할수록 물리 피해 감소율의 증가폭이 급격히 줄어듭니다. 처음에는 방어력이 피해감소율과 같은 비율로 전환되지만, 방어력 $50$을 채 달성하기도 전에 방어력이 물리피해감소율로 전환되는 비율이 절반 아래로 떨어집니다. 방어력이 $100$이 되면, 물리피해감소율로 전환되는 비율이 $25\%$로 떨어집니다.

피해감소율 공식 자체는 스킬 가속과 같지만, 여기에서는 고려해야할 점이 더 있습니다. 그것은 바로 재사용 대기시간과 달리 최대 체력 또한 플레이어가 성장시킬 수 있다는 것입니다. 거기다 마법 피해까지 고려하면 더 복잡해지겠지만, 우선은 물리피해와 체력만 고려하도록 합시다. 현재 체력을 $\text{HP}$, 물리 피해 감소율을 $\text{PDR}$이라고 할 때, 내가 견딜 수 있는 최대 피해량 $D_{\max}$는 다음과 같이 계산됩니다.

$$ D_{\max}(100 - \text{PDR}) = \text{HP} \implies D_{\max} = \frac{\text{HP}}{100 - \text{PDR}} $$

그러면 $D_{\max}$는 방어력까지 고려한 실질 체력, 즉 맷집이라고 볼 수 있습니다. 방어력을 올릴 때 실제로 맷집이 얼마나 세지냐, 직관적으로 체력이 얼마나 늘어나냐를 계산해보려면 $D_{\max}$의 변화율을 구해보면 될 것입니다.

$$ \dfrac{D_{\max, \text{new}}}{D_{\max, \text{old}}} = \dfrac{\dfrac{\text{HP}}{100 - \text{PDR}_{\text{new}}}}{\dfrac{\text{HP}}{100 - \text{PDR}_{\text{old}}}} = \dfrac{100 - \text{PDR}_{\text{old}}}{100 - \text{PDR}_{\text{new}}} $$

방어력 $1$은 $20$골드 정도의 가치를 지니는데², 지금 방어력이 $100$이고 $1,000$ 골드를 모두 방어력에 투자해서 $150$으로 올린다고 가정해봅시다. 그러면 아래와 같이 계산되어, 실질적으로 체력이 $25\%$ 증가하는 것과 같다는 것을 알 수 있습니다.

$$ \dfrac{100 - \text{PDR}_{\text{old}}}{100 - \text{PDR}_{\text{new}}} = \dfrac{100 - \operatorname{PDR}(100)}{100 - \operatorname{PDR}(150)} = \dfrac{100 - 50}{100 - 60} = \dfrac{50}{40} = 1.25 $$

$\text{HP}$는 $1$포인트당 $2.67$골드의 가치를 지니므로³, $1,000$골드를 모두 체력에 투자하면, 체력이 약 $375$포인트 증가합니다. 따라서 현재 체력이 다음의 부등식을 만족할 때 $1,000$골드를 방어력에 투자하는 것보다 체력에 투자하는 것이 더 효율적입니다.

$$ \dfrac{\text{HP} + 375}{\text{HP}} \gt 1.25 \implies \text{HP} \lt 1,500 $$