📂표현론

위상군

정의¹

군 $\braket{G, \cdot}$가 위상공간이면서 다음을 만족하면 위상군^{topological group}이라 한다.

• 군의 곱셈 $\cdot : G \times G \to G$, $\quad (g, h) \mapsto g \cdot h$가 연속이다.
• 역원으로의 사상 $i : G \to G$, $\quad g \mapsto g^{-1}$가 연속이다.

위상수학 관점에서

하우스도르프 공간 $G$가 다음의 두 연속함수^{곱사상과 역원사상}에 대해서 군을 이루면 위상군이라 한다.

$$ m : G \times G \to G,\qquad (g, h) \mapsto g \cdot h \\ i : G \to G,\qquad g \mapsto g^{-1} $$

설명

군과 위상공간의 짬뽕이다. 곱사상과 역원사상의 연속이라는 조건이 "미분가능"으로 바뀌면 리 군이 된다.

$$ \text{Lie group} \implies \text{topological group} $$

예시

1. 모든 군은 이산 위상을 주면 위상군이 된다.
2. 복소평면 상의 단위원 $\braket{S^{1}(\mathbb{C}), \cdot}$은 위상군이다. 이때 $\cdot$은 복소수 곱셈이다.
3. 유클리드 공간과 덧셈이 이루는 군 $\braket{\mathbb{R}^{n}, +}$은 위상군이다. 이때 $+$는 벡터의 덧셈이다.

증명

1.

군 $\braket{G, \cdot}$에 이산 위상 $\mathcal{P}(G)$을 주면 $G$의 모든 부분집합이 열린 집합이다.

연속함수의 동치 조건:

• $f : X \to Y$는 연속함수이다.
• 모든 열린 집합 $V \subset Y$에 대해서 $f^{-1}(V)$는 열린 집합이다.

$G$의 모든 부분집합이 열린 집합이므로, 위 조건에 의해 모든 $f : G \to G$는 연속함수이다. 따라서 역원 $i : G \to G$는 연속이다. 같은 논리로 $G \times G$에 이산 위상을 주면 곱셈 $\cdot : G \times G \to G$도 연속이다. 따라서 군 $\braket{G, \cdot}$는 위상군이다.

■

2.

복소평면 상의 단위원이란 다음을 만족하는 집합이다.

$$ S^{1}(\mathbb{C}) = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} $$

• $\braket{S^{1}(\mathbb{C}), \cdot}$는 군이다.

  • 닫혀있음: $z_{1}, z_{2} \in S^{1}(\mathbb{C})$이면, |$z_{1} z_{2}| = |z_{1}||z_{2}| = 1$이므로 $z_{1} z_{2} \in S^{1}(\mathbb{C})$이다.
  • 결합법칙: $z_{1}=e^{i\theta_{1}}, z_{2}=e^{i\theta_{2}}, z_{3}=e^{i\theta_{3}}$라고 하면, $z_{1} (z_{2} z_{3}) = e^{i(\theta_{1} + \theta_{2} + \theta_{3})} = (z_{1} z_{2}) z_{3}$이다.
  • 항등원: $(1,0) \in S^{1}(\mathbb{C})$이다.
  • 역원: $z \in S^{1}(\mathbb{C})$이면 $z^{-1} = \frac{1}{z} \in S^{1}(\mathbb{C})$이다.

• $S^{1}(\mathbb{C})$는 위상공간이다.

  복소평면상의 보통위상에 대해 부분공간위상을 부여한다. 그러면 $S^{1}(\mathbb{C})$는 $\mathbb{C}$의 부분 위상공간이다.