📂양자역학

조화진동자 연산자의 행렬 표현

설명

조화

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슈뢰딩거 방정식은 선형방정식이므로 방정식을 만족하는 여러 파동함수의 선형결합 역시 방정식을 만족한다.조화 진동자의 각 상태의 고유함수를 $\ket{\psi_{0}}$, $\ket{\psi_{1}}$, $\cdots$, $|\psi_{n}>$라 하면이 고유함수들의 선형결합인 $\ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}>$역시 슈뢰딩거 방정식의 해이다.(고유함수라는 것이 아니다. 일반적으로 고유함수의 선형 결합은 고유함수가 아니다.) 기저$\mathrm{basis}$를 $ (\psi_{0},\ \psi_{1},\cdots , \psi_{n})$라 하고 바닥상태부터 차례로 순서를 매기자.그러면 바닥상태부터의 고유함수를 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.

$$ \ket{\psi_{0}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ket{\psi_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, |\psi_{n}> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $$

선형대수를 잘 모르는 사람이라면 직교좌표계에서 각 단위벡터가 어떻게 표현되는지 생각해보자. $ \hat{\mathbf{x}} = (1,\ 0,\ 0)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,\ 1,\ 0), \hat{\mathbf{z}} = (0,\ 0,\ 1) $$

따라서 각 고유함수들의 선형결합인 $\ket{\psi}$는 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.

$$ \ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}> = \begin{pmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix} $$

사다리 연산자의 행렬 표현을 구하기에 앞서 간단한 예시로 그 원리를 설명하겠다.임의의 $2\times 2$행렬인 $A$가 있다.이 행렬의 성분을 모르기에 아래와 같이 표현하자.$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이 행렬의 1행 1열 성분을 뽑아내는 방법은 앞뒤로 두 행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$을 곱하는 것이다.$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = a $ 같은 방법을 써서 각 성분을 구하는 과정은 아래와 같다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = b $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = c $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = d $$

이 원리를 이해했다면 이제 본격적으로 조화진동자의 사다리 연산자의 행렬표현을 구해보자.이제부터 조화 진동자의 고유 함수를 간단하게 $\psi_{n}> \equiv |n>$으로 표시하겠다.그러면 고유함수와 사다리 연산자의 관계식을 다음과 같이 쓸 수 있다.$a_{+}|n>= \sqrt{n+1}|n>$이를 이용하여 $a_{+}$의 각 성분을 구할 수 있다.조화 진동자의 상태는 $n=0$부터 시작함에 주의하자.또한 $\braket{m | n}=\delta_{mn}$를 이용하면 $\braket{n+1 | a_{+}|n}$일 때만 행렬의 성분이 존재함을 알 수 있다.다른 성분은 전부 $0$이다.예를 들어 $\braket{1 | a_{+}|1}=\braket{1 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{1 | 2}=0 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\braket{2 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{2 | 2}=\sqrt{2}$ $0$이 아닌 성분만 구해보면$\braket{1 | a_{+}|0}=1 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\sqrt{2} $$ \braket{3 | a_{+}|2}=\sqrt{3}$ $\vdots $$ \braket{n+1 | a_{+}|n}=\sqrt{n+1}$ 따라서 $a_{+}$의 행렬은 $(n+2)$행 $(n+1)$열에서 $0$이 아닌 값 $\sqrt{n+1}$을 가진다.(조화진동자의 상태는 $n=0$ 부터 시작함을 다시 한 번 기억하자)$a_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ 같은 방법으로 $a_{-}$의 행렬 표현도 구할 수 있다.과정은 생략하니 직접 해보자.$a_{-}=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ 행렬 표현 역시 $(a_{+})^{\ast}=a_{-}$을 만족하는 것을 알 수 있다.조화진동자의 해밀토니안$H$ 역시 행렬로 표현할 수 있다.$H|n>=(n+\frac{1}{2})\hbar w|n>$임을 알고있으니 위에서 했던 방법을 그대로 쓰면$H=\hbar w\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$이 역시 과정은 생략할테니 직접 해보자.