📂양자역학

양자역학에서 연산자의 행렬표현

빌드업

2차원 공간의 두 단위벡터 $\widehat{\mathbf{x}} = (1, 0)$, $\widehat{\mathbf{y}} = (0, 1)$를 생각해보자. 공간 내의 임의의 점 $(a, b)$의 좌표벡터는 두 단위벡터의 선형결합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) \implies \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

이러한 표현이 가능한 이유는 단위벡터들의 집합 $\left\{ \widehat{\mathbf{x}}, \widehat{\mathbf{y}} \right\}$가 서로 수직인 벡터를 차원의 수 만큼 가지고 있기 때문이다. 이러한 집합을 수학적으로 기저라고 한다. 다시 말해 기저가 주어지면 이들의 선형결합으로 공간 내의 모든 벡터를 표현할 수 있다. 어떤 집합이 기저가 될 조건은 원소의 수가 차원의 수와 같아야하고, 서로 수직인 벡터들로 이루어져 있어야 한다. 즉 $\widehat{\mathbf{x}}$, $\widehat{\mathbf{y}}$과 같은 단위벡터가 아니어도 된다는 뜻이다.

예를 들어 서로 수직인 두 벡터 $\mathbf{v} = (-1, 2)$와 $\mathbf{u} = (2, 1)$을 생각해보자. 그러면 점 $(a, b)$의 좌표 벡터는 다음과 같다.

$$(a, b) = \dfrac{-a + 2b}{5}(-1, 2) + \dfrac{2a+b}{5}(2, 1) \implies \begin{bmatrix} \dfrac{-a + 2b}{5} \\ \dfrac{2a+b}{5} \end{bmatrix} = \dfrac{-a + 2b}{5}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \dfrac{2a+b}{5}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

기저 내의 각각의 벡터들의 좌표는 순서에 따라 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$이 됨을 알 수 있다. 이제 임의의 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$가 주어져있다고 하자. 이 행렬의 1행 2열의 성분을 얻기 위해서는 첫번째 기저벡터의 좌표와 두번쩨 기저벡터의 좌표 각각 아래와 같이 $A$에 곱해주면 된다.

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = b$$

첫번째 기저벡터를 $\ket{1}$, 두번째 기저벡터를 $\ket{2}$라고 표기한다면, 행렬 $A$의 $ij$성분은 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$[A_{ij}] = \bra{i}A\ket{j}$$

이를 디랙 노테이션이라 한다. 위 내용의 핵심은 네가지이다.

1. 서로 수직한 벡터를 차원의 수만큼 가지고 있으면, 그 벡터들의 선형결합으로 모든 점을 좌표로 표현할 수 있다. (이러한 집합을 기저라 한다)
2. 기저에 따라 점의 좌표가 달라질 수 있다.
3. 기저 내의 $i$번째 벡터의 좌표 벡터는 다음과 같다. $$\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \gets i\text{-th row}$$
4. $i$번째 기저벡터의 좌표를 $\ket{i}$라고 표기하면, 행렬의 $ij$ 성분은 다음과 같다. $$[A_{ij}] = \bra{i}A\ket{j}$$

설명

양자역학에서 연산자의 (서로 다른 고유값에 대응되는) 고유 함수들은 모두 직교한다. 즉 고유 함수들의 집합은 기저ㅃ가 된다. 이들의 좌표 벡터를 이용하면 연산자가 고유함수에 작용하는 것을 마치 행렬곱셈처럼 표현할 수 있다. 가령 해밀토니안 연산자 $H$에 대해서 다음의 고유값 방정식이 성립한다고 해보자.

$$H\ket{1} = h_{1} \ket{1} \\ H\ket{2} = h_{2} \ket{2} \\$$

그럼 위의 고유값 방정식은 아래의 행렬 곱셈으로 표현될 수 있다.

$$\begin{bmatrix} h_{1} & 0 \\ 0 & h_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{1} \\ 0 \end{bmatrix} = h_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] \begin{bmatrix} h_{1} & 0 \\ 0 & h_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ h_{2} \end{bmatrix} = h_{2} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

따라서 $\begin{bmatrix} h_{1} & 0 \\ 0 & h_{2} \end{bmatrix}$는 해밀토니안 $H$에 대응되는 행렬이다. 이 행렬의 각 성분을 구하는 방법은 위에서 설명했듯 고유벡터를 앞뒤로 곱하는 것이다.

$$[H_{ij}] = \bra{i}H\ket{j}$$

예시

조화 진동자

• 에너지 연산자: $$H=\hbar w \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$$

• 사다리 연산자:

  $$a_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$$ $$a_{-}=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$$

각운동량 연산자

$\ell = 1$일 때,

• 각운동량 연산자:

  $$L_{z}=\hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$L_{x}=\dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,\qquad L_{y}=\dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -\i & 0 \\ \i & 0 & -\i \\ 0 & \i & 0 \end{pmatrix}$$

• 사다리 연산자:

  $$L_{+}=\hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\qquad L_{-}=\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} &0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} &0 \end{pmatrix}$$