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절댓값 함수의 미분 📂함수

절댓값 함수의 미분

정리

절댓값 함수미분은 다음과 같다.

dxdx=1xx={1x>01x<0,x0 \frac{ d |x| } {d x} = \dfrac{1}{|x|}x = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}, \qquad x \neq 0

설명

사실 절댓값 함수는 x=0x = 0에서 뾰족하게 생겨서 실수 전체 영역에서는 미분이 불가능하다. 그렇지만 정의역에서 딱 한 점만 제외하면 R{0}\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}에서는 미분가능한 함수가 된다. 다시말해 ff와 달리 아래와 같이 정의되는 gg도함수 gg^{\prime}을 갖는다는 말이다.

f(x):=x,xR f (x) := |x|, \qquad x \in \mathbb{R} g(x):=x,xR{0} g (x) := |x|, \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}

이때 많은 경우에서 gg^{\prime}ff의 도함수로 취급할 수 있으며, 이를 ff약 도함수라 한다. 실제로 딥러닝에서 쓰이는 ReLU 등과 같은 활성화함수x=0x = 0에서 미분 불가능하기도 한데 사용되는 이유가 바로 이 때문이다.

증명

dxdx=dx2dx=dx2dx2dx2dx=121x22x=1xx \begin{align*} \frac{ d |x| } {d x} &= \frac{d \sqrt{x^2} }{d x} \\ &= \frac{d \sqrt{x^2}}{d x^2} \frac{d x^2}{dx} \\ &= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot 2x \\ &= \dfrac{1}{|x|}x \end{align*}