절댓값 함수의 미분
📂함수절댓값 함수의 미분
정리
절댓값 함수의 미분은 다음과 같다.
dxd∣x∣=∣x∣1x={1−1x>0x<0,x=0
설명
사실 절댓값 함수는 x=0에서 뾰족하게 생겨서 실수 전체 영역에서는 미분이 불가능하다. 그렇지만 정의역에서 딱 한 점만 제외하면 R∖{0}에서는 미분가능한 함수가 된다. 다시말해 f와 달리 아래와 같이 정의되는 g는 도함수 g′을 갖는다는 말이다.
f(x):=∣x∣,x∈R
g(x):=∣x∣,x∈R∖{0}
이때 많은 경우에서 g′을 f의 도함수로 취급할 수 있으며, 이를 f의 약 도함수라 한다. 실제로 딥러닝에서 쓰이는 ReLU 등과 같은 활성화함수는 x=0에서 미분 불가능하기도 한데 사용되는 이유가 바로 이 때문이다.
증명
dxd∣x∣=dxdx2=dx2dx2dxdx2=21x21⋅2x=∣x∣1x
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