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베르누이 분포의 적률생성함수 📂확률분포론

베르누이 분포의 적률생성함수

공식

XX \sim Bin(1,p)\operatorname{Bin}(1, p)일 때, XX적률생성함수는 아래와 같다.

m(t)=1p+pet=q+pet,q=1p m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p

증명

p[0,1]p \in [0, 1]에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.

f(x)=px(1p)1x,x=0,1 f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1

적률생성함수의 정의로부터

적률생성함수의 정의에 의해,

E(etX)=x=0,1etxf(x)=x=0,1etx(1p)1xpx=(1p)et0p0+pet1(1p)11=1p+pet \begin{align*} E(e^{tX}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} f(x) \\ &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} (1 - p)^{1-x} p^{x} \\ &= (1 - p) e^{t \cdot 0} p^{0} + p e^{t \cdot 1} (1 - p)^{1-1} \\ &= 1 - p + pe^{t} \end{align*}

이항분포로부터

베르누이 분포는 이항분포 Bin(n,p)\operatorname{Bin}(n, p)에서 n=1n = 1인 특수한 경우이다. 이항분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

m(t)=[1p+pet]n m(t)= [1 - p + pe^{t}]^{n}

따라서 베르누이 분포의 적률생성함수는 아래와 같다.

m(t)=1p+pet=q+pet m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}