📂확률분포론

베르누이 분포의 적률생성함수

공식

$X \sim$ $\operatorname{Bin}(1, p)$일 때, $X$의 적률생성함수는 아래와 같다.

$$m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p$$

증명

$p \in [0, 1]$에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포를 베르누이 분포^{Bernoulli distribution}라고 한다.

$$f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1$$

적률생성함수의 정의로부터

적률생성함수의 정의에 의해,

$$\begin{align*} E(e^{tX}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} f(x) \\ &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} (1 - p)^{1-x} p^{x} \\ &= (1 - p) e^{t \cdot 0} p^{0} + p e^{t \cdot 1} (1 - p)^{1-1} \\ &= 1 - p + pe^{t} \end{align*}$$

■

이항분포로부터

베르누이 분포는 이항분포 $\operatorname{Bin}(n, p)$에서 $n = 1$인 특수한 경우이다. 이항분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

$$m(t)= [1 - p + pe^{t}]^{n}$$

따라서 베르누이 분포의 적률생성함수는 아래와 같다.

$$m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}$$

■