베르누이 분포의 적률생성함수
📂확률분포론베르누이 분포의 적률생성함수
공식
X∼ Bin(1,p)일 때, X의 적률생성함수는 아래와 같다.
m(t)=1−p+pet=q+pet,q=1−p
증명
p∈[0,1]에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포를 베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.
f(x)=px(1−p)1−x,x=0,1
적률생성함수의 정의로부터
적률생성함수의 정의에 의해,
E(etX)=x=0,1∑etxf(x)=x=0,1∑etx(1−p)1−xpx=(1−p)et⋅0p0+pet⋅1(1−p)1−1=1−p+pet
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이항분포로부터
베르누이 분포는 이항분포 Bin(n,p)에서 n=1인 특수한 경우이다. 이항분포의 적률생성함수는 다음과 같다.
m(t)=[1−p+pet]n
따라서 베르누이 분포의 적률생성함수는 아래와 같다.
m(t)=1−p+pet=q+pet
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