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베르누이 분포 📂확률분포론

베르누이 분포

정의1

p[0,1]p \in [0, 1]에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.

f(x)=px(1p)1x,x=0,1 f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1

설명

동전 던지기와 같이 가능한 결과가 두 가지인 행위를 한 번 시도하는 경우를 묘사할 때 사용한다. 경우의 수가 두 가지이기 때문에, 흔히 x=1x = 1을 성공, x=0x = 0을 실패라 한다. 그리고 pp를 성공 확률, q=1pq = 1 - p를 실패확률이라고 한다. 이렇게 경우의 수가 두 가지인 실험을 한 번 실시하는 것을 베르누이 시행Bernoulli trial이라고 한다.

시행 횟수를 nn회로 일반화하면 이항 분포가 되며, 반대로 베르누이 분포는 이항 분포에서 n=1n = 1인 특수한 경우인 Bin(1,p)\operatorname{Bin}(1, p)로 볼 수 있다.

가능한 결과(범주)를 두 가지에서 kk가지로 일반화한 것은 카테고리 분포이며, 시행 횟수와 범주를 모두 일반화한 것이 다항 분포이다.

범주 시행횟수
11nn
22베르누이 분포이항 분포
kk카테고리 분포다항 분포

기초 성질

적률생성함수

베르누이 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

m(t)=1p+pet=q+pet,q=1p m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p

평균과 분산

XBin(1,p)X \sim \operatorname{Bin}(1, p)이면,

E(X)=p E(X) = p Var(X)=p(1p)=pq,q=1p \Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p


  1. Hogg et al. (2018). Introduction to Mathematical Statistcs(8th Edition): p155-157 ↩︎