📂행렬대수

아핀 변환

정의

쉬운 정의

행렬 $A$ 와 벡터 $\mathbf{b}$ 이 주어져 있다고 하자. 다음과 같이 벡터 $\mathbf{x}$ 에 $A$ 를 곱하고 $\mathbf{b}$ 를 더하는 변환을 아핀 변환이라 한다. $$\mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x} + \mathbf{b}$$

어려운 정의 ¹

벡터공간 $V$ 에서 정의된 $f : V \to V$ 가 아무 스칼라 $\lambda$ 에 대해 다음을 만족하면 $f$ 를 아핀 변환^{Affine transform}이라 한다. $$f \left( \lambda x + \left[ 1 - \lambda \right] y \right) = \lambda f (x) + \left[ 1 - \lambda \right] f (y)$$

설명

특히 머신러닝이나 기하학의 맥락에서 행렬 $A$ 를 곱한다는 것은 회전변환을 비롯한 일차변환을 취한다는 것이고, 벡터 $\mathbf{b}$ 를 더한다는 것은 평행이동^translation을 의미한다.

수학에 친숙한 분야에서 아핀 변환이라는 표현은 사실상 그냥 어떤 행렬을 곱한다는 의미로 쓰이는 경우가 많은데, $\mathbf{y} = A \mathbf{x} + \mathbf{b}$ 와 같은 아핀 변환은 블럭 행렬 폼으로 생각했을 때 두 벡터 $\mathbf{y}$ 와 $\mathbf{x}$ 의 가장 아래에 $1$ 을 추가해서 다음과 같이 나타내도 상관 없기 때문이다. $$\begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \mathbf{x} + \mathbf{b} \\ 1 \end{bmatrix}$$