📂확률분포론

라플라스 분포

정의¹

$\mu \in \mathbb{R}$와 $b > 0$에 대해, 다음과 같은 확률밀도함수를 가지는 연속확률분포 $\operatorname{Laplace}(\mu, b)$를 라플라스 분포^{Laplace distribution}라고 한다.

$$ f(x) = \dfrac{1}{2b} \exp \left( -\dfrac{|x - \mu|}{b} \right) $$

설명

정규분포와의 관계

정규분포와 비슷하게 생겼지만, 제곱이 아니라 절댓값 $| x - \mu |$가 있어서 뾰족한 모양을 갖는다. $0$ 근처에서는 라플라스분포가 훨씬 빠르게 감소하며, $0$에서 멀면 정규분포가 더 빠르게 감소한다.

지수분포와의 관계

특히 $\mu = 0$이고, $b = 1$인 라플라스 분포에서 $x \ge 0$인 경우에는, 지수 분포 $\frac{1}{2} \exp(1)$과 같다. $x \ge 0$에서 정의된 지수분포를 $x \in \mathbb{R}$로 확장한 것으로 볼 수 있다. $X \sim \operatorname{Laplace}(0, b)$이면, $|X| \sim \exp(b^{-1})$이다.

기초 성질

적률 생성 함수

라플라스 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

$$ m(t) = \dfrac{1}{1 - t^{2}b^{2}}\exp(\mu t) \qquad \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} $$

평균과 분산

$X \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b)$이면

$$ E(X) = \mu $$ $$ \Var(X) = 2b^{2} $$

최대우도추정량

랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b)$가 주어져 있다고 하자.

$(\mu, b)$에 대한 최대우도추정량 $(\hat{\mu}, \hat{b})$는 다음과 같다.

$$ \hat{\mu} = \text{median}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{n}) $$

$$ \hat{b} = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$

시각화

다음은 라플라스분포의 확률밀도함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드이다.

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = -10:0.1:10
B = collect(0.1:0.1:5.0); append!(B, reverse(B))

animation = @animate for b ∈ B
    plot(x, pdf.(Laplace(0, b), x),
     color = :black,
     label = "b = $(round(b, digits = 2))", size = (400,300))
    xlims!(-10,10); ylims!(0,1); title!(L"\mathrm{pdf\,of\,} \operatorname{Laplace}(0, b)")
end
gif(animation, "pdf.gif", fps = 15)

plot(x, pdf.(Laplace(0, 1), x), lw=2, label="Laplace(0, 1)", color=:royalblue, dpi=200)
plot!(x, pdf.(Normal(0, 1), x), lw=2, label="Normal(0, 1)", color=:tomato)