📂동역학

초기조건에 민감한 종속성

정의 ¹

공간 $X = \left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ 와 스무스한 함수 $f,g : X \to X$ 에 대해 벡터필드, 맵이 다음과 같이 표현된다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$

$\phi (t, \cdot)$ 은 벡터필드 $\dot{x} = f(x)$ 의 플로우, $g^{n}$ 는 맵 $g$ 를 $n$ 번 취한 맵을 나타내고, $\Lambda \subset X$ 가 $\phi (t, \cdot)$ 혹은 $g(\cdot)$ 하에서 불변 컴팩트 집합이라고 하자.

$\phi (t,x)$ 혹은 $g(x)$ 가 $\Lambda$ 에서 초기값에 민감하다^{sensitive dependence on initial conditions}는 것은 모든 $x \in \Lambda$ 에 대해 다음을 만족하는 $\varepsilon > 0$ 이 존재하고 $x$ 의 모든 네이버후드 $U$ 에 대해 다음을 만족하는 $y \in U$ 과 $t > 0$ 가 존재한다는 것이다. $$ \begin{align*} \left\| \phi (t,x) - \phi (t,y) \right\| > \varepsilon \text{ or } \left\| g^{n} (x) - g^{n} (y) \right\| > \varepsilon \end{align*} $$

설명

위의 수식은 초기값이 바뀜에 따라 우리가 원하는만큼의 짧은 시간 후에 우리가 원하는만큼의 차이가 큰 것을 그대로 기술한 것으로, ‘초기값에 민감하다’라는 표현에 부족함이 없다.

같이보기

• 불변 집합의 카오스
• 다차원 맵의 카오스
• 미분방정식으로 표현되는 시스템의 카오스