📂함수

특수 함수란?

설명

수학에서 특수함수^{special function}라 불리는 것들은 보통 특정한 미분 방정식의 해이거나, 복잡한 적분으로 정의되거나, 초등함수로 표현할수 없거나, 수학적으로 흥미로운 성질을 지닌 것이다. 그래서 주로 사람 이름, 알파벳, 그리스 문자를 이름으로 갖는데, 사실상 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수를 제외하고 이름을 가진 거의 모든 함수를 특수함수라 부른다고 할 수 있다. 설명을 보면 알겠지만 어떤 함수가 특수 함수인지 아닌지를 개념적으로 엄밀하게 구분해서 부르는 것은 아니다.

예시

감마 함수

감마함수는 다음과 같은 이상 적분으로 정의되는 특수함수이다.

$$ \Gamma (x) := \int\limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$

수학과 물리학을 포함한 많은 자연과학 및 공학에서 등장하며, 팩토리얼의 정의역을 자연수에서 실수(복소수)로 확장한 것이라 이해할 수 있다. 실제로 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \Gamma (n) = (n-1)! $$

목록

적분으로 정의됨

• 감마함수:

  $$ \Gamma (x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$

• 베타함수:

  $$ B(p,q) := \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt $$

• 제2종 타원적분:

  $$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$

급수로 정의됨

• 베셀 함수:

  $$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} $$

• 제2종 베셀 함수:

  $$ N_{\nu}(x) = Y_{\nu}(x) := \frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} $$

• 제3종 베셀 함수:

  $$ H_{p}^{(1)}(x) := J_{p}(x)+iN_{p}(x) \\ H_{p}^{(2)}(x) := J_{p}(x)-iN_{p}(x) $$

• 변형 베셀 함수:

  $$ \begin{align*} I_{\nu}(x) & =i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*} $$

• 에어리 함수:

  $$ \begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \operatorname{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*} $$

• 리만 제타 함수:

  $$ \zeta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1- {p^{-s}} \right)^{-1} $$

다항식으로 정의됨

• 르장드르 다항식:

  $$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} $$

• 버금 르장드르 다항식:

  $$ \begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*} $$

• 에르미트 다항식:

  $$ H_{n} = (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} $$

• 라게르 다항식:

  $$ L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) $$