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컴팩트 적분작용소 📂바나흐공간

컴팩트 적분작용소

정리1

컴팩트 구간 J=[a,b]J = [a, b]에 대해서, KK가 J×JJ \times J 위에서 연속인 함수라 하자. X=C[a,b]X = C[a, b]를 연속함수공간이라 하자. 그러면 KK를 커널로 갖는 적분 작용소 T:X→XT : X \to X는 컴팩트 선형작용소이다.

(Tx)(s)=∫abK(s,t)x(t)dt,∀x∈X (Tx)(s) = \int\limits_{a}^{b} K(s, t) x(t) dt,\qquad \forall x \in X

설명

정리를 요약하자면, "컴팩트 공간에서 정의된 연속함수 KK를 커널로 갖는 적분 작용소 또한 컴팩트 작용소이다"가 된다.

증명

적분 작용소는 선형이고, 유계이므로 컴팩트인 것에 대해서만 보이면 된다.

컴팩트 작용소

선형 작용소 T:X→YT : X \to Y와 모든 유계 부분집합 M⊂XM \subset X에 대해서, T(M)‾\overline{T(M)}이 컴팩트이면 TT를 컴팩트 작용소라 한다.

연속함수공간의 놈

연속함수공간 C[a,b]C[a, b]의 놈norm을 다음과 같이 정의한다.

∥x∥:=max⁡t∈[a,b]∣x(t)∣,x∈C[a,b] \left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [a, b]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[a, b]

XX의 수열 {xn}\left\{ x_{n} \right\}이 유계라고 하자. 다시 말해 모든 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대해서 ∥xn∥≤c\left\| x_{n} \right\| \le c인 cc가 존재한다. yn=Txny_{n} = Tx_{n}이라고 하자. 그러면 TT가 유계이므로,

∥yn∥=∥Txn∥≤∥T∥∥xn∥ \left\| y_{n} \right\| = \left\| Tx_{n} \right\| \le \left\| T \right\| \left\| x_{n} \right\|

따라서 {yn}\left\{ y_{n} \right\}도 유계이다. 이제 {yn}\left\{ y_{n} \right\}이 동등연속임을 보일 것이다. 커널 KK는 연속이고 J×JJ \times J는 컴팩트이므로 KK는 균등연속이다. 따라서 주어진 임의의 ε>0\varepsilon \gt 0에 대해서 다음을 만족하는 δ>0\delta \gt 0가 존재한다.

∀s1,s2∈J and t∈J∣s1−s2∣<δ  ⟹  ∣K(s1,t)−K(s2,t)∣<ε(b−a)c \forall s_{1}, s_{2} \in J \text{ and } t \in J \qquad \left| s_{1} - s_{2} \right| \lt \delta \implies \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \lt \frac{\varepsilon}{(b-a)c}

따라서 s1,s2s_{1}, s_{2}와 모든 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대해서 다음이 성립한다.

∣yn(s1)−yn(s2)∣=∣∫abK(s1,t)xn(t)dt−∫abK(s2,t)xn(t)dt∣=∣∫ab[K(s1,t)−K(s2,t)]xn(t)dt∣≤∫ab∣K(s1,t)−K(s2,t)∣∣xn(t)∣dt≤∫abε(b−a)c⋅cdt=ε \begin{align*} \left| y_{n}(s_{1}) - y_{n}(s_{2}) \right| &= \left| \int\limits_{a}^{b} K(s_{1}, t)x_{n}(t) dt - \int\limits_{a}^{b} K(s_{2}, t)x_{n}(t) dt \right| \\ &= \left| \int\limits_{a}^{b} \left[ K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right] x_{n}(t) dt \right| \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \left| x_{n}(t) \right| dt \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \frac{\varepsilon}{(b-a)c} \cdot c dt \\ &= \varepsilon \end{align*}

따라서 {yn}\left\{ y_{n} \right\}은 동등연속이다. 유계인 동등연속 함수열은 수렴하는 부분수열을 가지므로 {yn}\left\{ y_{n} \right\}은 수렴하는 부분수열을 가진다.

보조 정리

XX와 YY를 놈 공간이라 하자. T:X→YT : X \to Y를 선형 작용소라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 서로 같다.

  1. TT가 컴팩트 작용소이다.
  2. TT가 「XX의 모든 유계 수열」을 「수렴하는 부분수열을 갖는 YY의 수열」로 매핑한다.

그러면 임의의 유계 수열 {xn}\left\{ x_{n} \right\}이 TT에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는 수열 {yn}\left\{ y_{n} \right\}으로 매핑되므로, TT는 컴팩트 작용소이다.

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  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p454-455 ↩︎