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컴팩트 적분작용소

정리¹

컴팩트 구간 $J = [a, b]$에 대해서, $K$가 $J \times J$ 위에서 연속인 함수라 하자. $X = C[a, b]$를 연속함수공간이라 하자. 그러면 $K$를 커널로 갖는 적분 작용소 $T : X \to X$는 컴팩트 선형작용소이다.

$$ (Tx)(s) = \int\limits_{a}^{b} K(s, t) x(t) dt,\qquad \forall x \in X $$

증명

적분 작용소는 선형이고, 유계이므로 컴팩트인 것에 대해서만 보이면 된다.

컴팩트 작용소

선형 작용소 $T : X \to Y$와 모든 유계 부분집합 $M \subset X$에 대해서, $\overline{T(M)}$이 컴팩트이면 $T$를 컴팩트 작용소라 한다.

연속함수공간의 놈

연속함수공간 $C[a, b]$의 놈^norm을 다음과 같이 정의한다.

$$ \left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [a, b]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[a, b] $$

$X$의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 유계라고 하자. 다시 말해 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\left\| x_{n} \right\| \le c$인 $c$가 존재한다. $y_{n} = Tx_{n}$이라고 하자. 그러면 $T$가 유계이므로,

$$ \left\| y_{n} \right\| = \left\| Tx_{n} \right\| \le \left\| T \right\| \left\| x_{n} \right\| $$

따라서 $\left\{ y_{n} \right\}$도 유계이다. 이제 $\left\{ y_{n} \right\}$이 동등연속임을 보일 것이다. 커널 $K$는 연속이고 $J \times J$는 컴팩트이므로 $K$는 균등연속이다. 따라서 주어진 임의의 $\varepsilon \gt 0$에 대해서 다음을 만족하는 $\delta \gt 0$가 존재한다.

$$ \forall s_{1}, s_{2} \in J \text{ and } t \in J \qquad \left| s_{1} - s_{2} \right| \lt \delta \implies \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \lt \frac{\varepsilon}{(b-a)c} $$

따라서 $s_{1}, s_{2}$와 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| y_{n}(s_{1}) - y_{n}(s_{2}) \right| &= \left| \int\limits_{a}^{b} K(s_{1}, t)x_{n}(t) dt - \int\limits_{a}^{b} K(s_{2}, t)x_{n}(t) dt \right| \\ &= \left| \int\limits_{a}^{b} \left[ K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right] x_{n}(t) dt \right| \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \left| x_{n}(t) \right| dt \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \frac{\varepsilon}{(b-a)c} \cdot c dt \\ &= \varepsilon \end{align*} $$

따라서 $\left\{ y_{n} \right\}$은 동등연속이다. 유계인 동등연속 함수열은 수렴하는 부분수열을 가지므로 $\left\{ y_{n} \right\}$은 수렴하는 부분수열을 가진다.

보조 정리

$X$와 $Y$를 놈 공간이라 하자. $T : X \to Y$를 선형 작용소라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 서로 같다.

1. $T$가 컴팩트 작용소이다.
2. $T$가 「$X$의 모든 유계 수열」을 「수렴하는 부분수열을 갖는 $Y$의 수열」로 매핑한다.

그러면 임의의 유계 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $T$에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는 수열 $\left\{ y_{n} \right\}$으로 매핑되므로, $T$는 컴팩트 작용소이다.

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