📂바나흐공간

적분 작용소

정의¹

연속함수공간 $C[0 ,1]$에 대해서, 다음과 같이 정의되는 작용소 $T : C[0, 1] \to C[0, 1]$을 적분 작용소^{integral operator}라 한다.

$$y = Tx \qquad \text{where} \qquad y(s) = \int_{0}^{1} K(s, t) x(t) dt$$

이때 $K$를 $T$의 커널^kernel이라 한다. (커널 $K$는 $[0, 1] \times [0, 1]$ 위에서 연속인 것으로 가정된다.)

설명

적분 작용소는 적분 변환이라고도 불린다. 보통의 경우 $T$의 정의역 및 공역을 벡터공간으로 바라보면 변환, 놈 공간으로 바라보면 작용소라고 한다.

정리

적분 작용소는 선형이고 유계이다.

증명

선형성: 정의에 의해 자명하다.

유계:

연속함수공간의 놈

연속함수공간 $C[0, 1]$의 놈^norm을 다음과 같이 정의한다.

$$\left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [0, 1]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[0, 1]$$

우선 $\left| x(t) \right| \le \max\limits_{t \in [0, 1]} = \left\| x \right\|$이다. 또한 $K$와 연속이므로 닫힌 구간 위에서 유계이다.

$$\left| K(s, t) \right| \le K_{0}\quad \forall (s, t) \in [0, 1]$$

따라서 다음을 얻고, $T$는 유계이다.

$$\begin{align*} \left\| Tx \right\| &= \max\limits_{t \in [0, 1]} \left| \int\limits_{0}^{1} K(s, t) x(t) dt \right| \\ &\le \max\limits_{t \in [0, 1]} \int\limits_{0}^{1} \left| K(s, t) \right| \left| x(t) \right| dt \\ &\le K_{0} \left\| x \right\| \end{align*}$$

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