📂바나흐공간

컴팩트 작용소일 동치 조건

정리¹

$X$와 $Y$를 놈 공간이라 하자. $T : X \to Y$를 선형 작용소라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 서로 같다.

1. $T$가 컴팩트 작용소이다.
2. $T$가 「$X$의 모든 유계 수열」을 「수렴하는 부분수열을 갖는 $Y$의 수열」로 매핑한다.

증명

$1. \Longrightarrow 2.$

$T : X \to Y$를 컴팩트라고 가정하자.

$\left\{ x_{n} \right\}$을 유계 수열이라 하자. 그러면 컴팩트 작용소의 정의에 의해 $\overline{\left\{ Tx_{n} \right\}}$은 컴팩트이고, 거리공간에서 컴팩트는 수열 컴팩트와 같으므로 $\left\{ Tx_{n} \right\}$은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

수열 컴팩트

거리 공간 $X$가 수열 컴팩트^{sequentially compact}라는 것은, $X$의 모든 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $X$의 점으로 수렴하는 부분 수열 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$를 가진다는 것을 말한다.

$2. \Longrightarrow 1.$

모든 유계 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $\left\{ Tx_{n_{k}} \right\}$가 $Y$에서 수렴하도록하는 부분수열 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$를 갖는다고 가정하자.

임의의 유계 부분집합 $B \subset X$와 $T(B)$의 임의의 수열 $\left\{ y_{n} \right\}$을 생각하자. 그러면 $B$가 유계이므로, $y_{n} = Tx_{n}$인 $x_{n} \in B$에 대해서, $\left\{ x_{n} \right\}$은 유계이다. 그러면 가정에 의해 $\left\{ Tx_{n} \right\}$은 수렴하는 부분수열을 갖는다. $\left\{ y_{n} \right\} = \left\{ Tx_{n} \right\}$은 $T(B)$의 임의의 수열이었으므로, $T(B)$의 임의의 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다. 이는 $T(B)$가 수열 컴팩트(=컴팩트)라는 것을 의미한다. 그런데 처음에 $B$는 임의의 유계집합이었으므로, $T$는 임의의 유계집합 $B$를 프리 컴팩트 집합으로 매핑한다는 결과를 얻는다. 따라서 $T$는 컴팩트 작용소이다.

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따름정리

두 컴팩트 선형작용소 $T_{1}$과 $T_{2}$의 합 $T_{1} + T_{2}$는 컴팩트 작용소이다. 또한 임의의 상수 $\alpha$에 대해 $\alpha T_{1}$은 컴팩트 작용소이다.

따라서 두 놈 공간 $X$에서 $Y$로의 컴팩트 선형작용소들의 집합은 벡터공간을 이룬다.