📂행렬대수

행렬의 스펙트럼과 분해 집합

정의¹

정방행렬 $A$의 모든 고유값들의 집합 $\sigma (A)$를 $A$의 스펙트럼^spectrum이라고 한다.

스펙트럼의 여집합 $\rho (A) = \mathbb{C} \setminus \sigma (A)$를 $A$의 분해 집합^{resolvent set}이라한다.

설명

$$Ax = \lambda x$$

행렬 $A$에 대한 고유값 방정식을 생각해보자. 위의 식을 만족하는 벡터 $x$를 고유벡터, 상수 $\lambda$를 고유값이라 부른다. 위 식을 조금 바꾸면 다음과 같다. 이때 $I$는 항등행렬이다.

$$(A - \lambda I)x = 0$$

여기서 만약 $A - \lambda I$가 가역행렬이면, $x = (A - \lambda I)^{-1}0 = 0$이 되므로 $x = 0$^영벡터이고 고유벡터가 아니다. 또한 $\lambda$도 $A$의 고유값이 아니다. 따라서 행렬 $A$의 분해집합이란, $A - \lambda I$가 가역행렬이 되도록하는 $\lambda$들의 집합과도 같다.

$$\rho (A) = \left\{ \lambda : A - \lambda I \text { is invertible.} \right\}$$

반대로 $A$의 스펙트럼이란, $A - \lambda I$가 비가역행렬이 되도록 하는 $\lambda$들의 집합과도 같다.

$$\sigma (A) = \left\{ \lambda : A - \lambda I \text { is singular.} \right\}$$

어원

스펙트럼^spectrum이란 물리학에서 빛을 파장별로 나누어 그 색깔을 표시한 것으로, 급식 시절에 배우는 선 스펙트럼이 대표적인 예이다. 각각의 원자들은 들뜬 상태에서 바닥 상태로 에너지 준위가 낮아질 때 특정한 에너지(파장)를 방출한다. 이를 방출 스펙트럼이라한다. 방출 스펙트럼은 원소마다 고유한 것으로, 각 원소의 특징이라고 볼 수 있다. 불꽃 반응 실험을 떠올려보라. 리튬, 나트륨, 칼륨 기체가 각각 고유한 불꽃색을 가지는데 이것이 바로 방출 스펙트럼이다. 행렬의 스펙트럼이라는 이름도 빛의 스펙트럼의 이러한 성질에서 따와 명명되었다. 각각의 행렬을 하나의 원자라고하면, 그 고유값은 행렬(원자)이 방출하는 에너지의 고유한 파장이고 그 파장을 모아놓은 것이 바로 스펙트럼이다.

이러한 개념은 물리학과 수학을 넘어서도 광범위하게 사용되고 있으며, 이럴 때는 스펙트럼이란 "가질 수 있는 모든 값들" 정도의 뜻으로 쓰인다. 예로 최근 유행한 "이상한 변호사 우영우"로 인해 널리 알려지게된 "자폐 스펙트럼"이라는 말이 있다. 이것도 자폐라는 것이 특정한 어떤 하나의 증상으로 정의되는 개념이 아니기 때문에 붙여진 말이다.