무한 퍼텐셜 우물에서의 에너지 준위
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고유함수 $\displaystyle \psi_{(x)} =\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$고유값 $\displaystyle E_{n}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$
무한 퍼텐셜 우물의 파동함수에 대해서운동량의 기댓값은 $0$이지만, 운동량의 제곱의 기댓값에 대해서는 $0$이 아니다.$1.$ 운동량의 기댓값$ \begin{align*}
\langle p \rangle &= \int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^{\ast} p {\psi_{n}(x)} dx
\\ &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) {\psi_{n}(x)} dx
\\ &= \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx
\end{align*}$ 이 때 $\displaystyle \frac{\partial \psi ^2}{\partial x}=2\psi\frac{\partial \psi}{\partial x}$이므로$\displaystyle \psi \frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{\partial \psi^2}{\partial x}$이다.$ \displaystyle{ \therefore \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx
\\ = \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)}^2 dx
\\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{a} \sin^2 \frac{n\pi x}{a} \right]_{0}^a
\\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \frac{2}{a} (\sin ^2 n\pi – \sin^2 0)
\\ = 0 }$전 구간에서 운동량의 기댓값이 $0$이니 입자가 존재하지 않는걸까?그건 아니다.기댓값이 $0$이라고 해서 운동량이 $0$인 것은 아니다.아래의 운동량의 제곱의 기댓값이 $0$이 아님을 확인해보자. $2.$ 운동량의 제곱의 기댓값$ \displaystyle \langle p^2 \rangle = \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx $이 때 슈뢰딩거 방정식이$\displaystyle \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = E_{n}\psi$이므로$\displaystyle -\hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = 2m E_{n}\psi$이다.따라서$ \begin{align*}
\int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) 2m E_{n} \psi_{n}(x)dx
\\ &= 2mE_{n}\int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^2 dx
\\ &= 2mE_{n}
\\ &= 2m\frac{n^2 \hbar ^2 \pi^2}{2ma^2}
\\ &= \left( \frac{2\hbar\pi}{a} \right)^2
\end{align*} $ 이제 $2$의 결과를 이용해서 운동에너지의 기댓값을 구할 수 있다.$3.$ 운동에너지의 기댓값$ \begin{align*}
\langle K \rangle &= \langle \frac{1}{2m} p^2 \rangle
\\ &= \frac{1}{2m} \langle p^2 \rangle
\\ &= \frac{1}{2m} (2mE_{n})
\\ &= E_{n}=\frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2ma^2}
\end{align*} $ 이 때 파동함수의 파장을 살펴보자.파동함수는 $\displaystyle \sin \frac{n\pi x}{a}$이므로 파장은 $\displaystyle 2\pi (\frac{a}{n\pi})=\frac{2a}{n}$이다.이 때 드브로이의 물질파 공식으로도 같은 결과를 얻을 수 있다.$\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}=\frac{2\pi \hbar}{\hbar k}=\frac{2\pi}{k}=2\pi \frac{a}{n\pi}=\frac{2a}{n}$ 각 $n$에 대하여 에너지와 파장을 적어보면 아래와 같다.$\displaystyle E_{1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$, $\lambda_{1} = 2a
$$
E_2 = \frac{4\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=4E_{1}$, $\lambda_2=a
$$
E_{3} = \frac{9\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=9E_{1}$, $\lambda_2=\frac{2a}{3}$이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.
이 때 물리적 의미를 지니는 것은 $\psi$가 아니라 $|\psi|^2$이므로 위상은 중요하지 않다.즉 아래 두 그림을 보면 파란색 파동은 서로 위상이 반대인데 둘 중 어느 것이어도 상관없다는 뜻이다. 
파동함수는 $\frac{a}{2}$를 중심으로 대칭이고,에너지는 $n^2$에 비례하며,파동함수가 많이 진동할수록 에너지 준위가 높다(에너지가 크다)혹은 에너지가 클수록 파동함수가 많이 진동한다.