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물리학에서 일반화좌표란?

정의¹

자유도가 $n$인 입자계의 좌표를 (1)구속조건과 관계없는 (2)서로 독립인 $n$개의 변수로 나타낸 것을 일반화좌표^{generalized coordinates}라 한다.

일반화 좌표

3차원 공간에서 입자의 자유도가 $3$이라면, 일반화 좌표 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$에 의해 입자의 위치를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} x &= x(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ y &= y(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ z &= z(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \end{align*}$$

자유도가 $2$나 $1$이라면 각각 다음과 같이 표현될 것이다.

$$\begin{align*} x &= x(q_{1}, q_{2}) \\ y &= y(q_{1}, q_{2}) \\ z &= z(q_{1}, q_{2}) \end{align*} \qquad\qquad \begin{align*} x &= x(q) \\ y &= y(q) \\ z &= z(q) \end{align*}$$

원운동

2차원 공간에서 단위원을 궤도로 원운동하는 입자를 생각해보자. 입자의 위치는 극좌표 $r = (x,y)$로 표현할 수 있는다. 이때 $y=\sqrt{1-x^{2}}$이므로 이 입자계의 자유도는 $2-1=1$이다.

$$\begin{align*} x &= x\\ y &= \sqrt{1 - x^{2}} \end{align*} \quad \implies \quad r = (x, \sqrt{1-x^{2}})$$

물론 이 경우에는 각도 $\theta$로 나타내는 것이 훨씬 편리하다. $$r = (\cos\theta, \sin\theta)$$ 여기서 구속조건은 $x^{2} + y^{2} = 1$이고, 일반화좌표는 $\theta$이다.

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이중진자

반지름이 $R, r (R \gt r)$인 이중진자를 생각해보자. 2차원에서 두 진자의 위치를 표현하기 위해서는 4개의 좌표 $(x_{1}, y_{1})$, $(x_{2}, y_{2})$가 필요하지만 자유도는 $2$이다. 두 진자가 $x$축과 이루는 각도를 $\theta_{1}, \theta_{2}$라고 하면 이 두 변수로 입자계의 모든 위치를 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} x_{1} &= R\cos\theta_{1} \\ y_{1} &= R\sin\theta_{1} \\ x_{2} &= R\cos\theta_{1} + r\cos\theta_{2} \\ y_{2} &= R\sin\theta_{1} + r\sin\theta_{2} \end{align*}$$

여기서 일반화좌표는 $(\theta_{1}, \theta_{2})$이다.

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일반화 속도

일반화 속도는 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 나타난다.

$$\dot{x} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial x}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}} \qquad \dot{y} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial y}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}} \qquad \dot{z} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial z}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}}$$

일반화 좌표로 계산되는 에너지

예1

일반화 좌표로 운동 에너지와 위치 에너지를 계산하는 구체적인 예시를 보자. 다음 그림과 같이 질량이 $M$인 물체가 $x$축을 따라서 움직일 수 있고, 질량이 $m$인 물체가 거기에 매달려서 반지름이 $r$인 진자운동을 하는 상황을 생각해보자.

이 입자계를 기술하기 위해서는 $M$의 위치 $(X, Y)$와 $m$의 위치 $(x, y)$, 총 네 변수가 필요하다. 하지만 다음과 같은 구속 조건이 있으므로 실제로는 자유도가 $2$이고, 두 개의 변수만 있으면 입자계의 모든 입자의 위치를 표현할 수 있다. $$Y = 0 \\ (x - X)^{2} + y^{2} = r^{2}$$

입자계를 $X$와 $\theta$ 두 변수로 나타낼 수 있으므로 일반화 좌표는 $(X, \theta)$이다. $$\begin{align*} (X, Y) &= (X, 0) \\ (x, y) &= (X + r\sin\theta, -r\cos\theta) \end{align*}$$

일반화 속도는 다음과 같다.

$$\dot{X} = \dot{X}, \qquad \dot{x} = \dot{X} + r \dot{\theta} \cos\theta, \qquad \dot{y} = -r \dot{\theta} \sin\theta$$

그러면 운동에너지 $T$와 위치에너지 $V$는 각각 아래와 같다. $$\begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} M \dot{X}^{2} + \dfrac{1}{2} m \left( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} M \dot{X}^{2} + \dfrac{1}{2} m \left[ (\dot{X} + r \dot{\theta} \cos\theta)^{2} + (-r \dot{\theta} \sin\theta)^{2} \right] \\[1em] V &= MgY + mgy \\ &= -mgr\cos\theta \end{align*}$$

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예2

중심력이 작용하는 2차원 평면위 입자의 운동을 생각해보자. 일반화 좌표로 극좌표를 선택하면 $q_{1} = r$, $q_{2} = \theta$이고, 위치와 속도는 다음과 같다.

$$\begin{align*} x &= r\cos\theta &\quad y &= r\sin\theta \\ \dot{x} &= \dot{r}\cos\theta - r\dot{\theta}\sin\theta &\quad \dot{y} &= \dot{r}\sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta \end{align*}$$

따라서 운동에너지와 퍼텐셜 에너지는,

$$\begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} m (\dot{x}^{2} + \dot{y}^{2}) = \dfrac{1}{2} m (\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}) \\ V &= V(r) \end{align*}$$

속도 벡터를 이용하여 구해도 같은 결과를 얻을 수 있다. 극 좌표계에서 속도는 다음과 같다.

$$\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_{r} + r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}$$

따라서 $|\mathbf{v}|^{2} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}$이므로 운동에너지는 다음과 같다.

$$T = \dfrac{1}{2} m |\mathbf{v}|^{2} = \dfrac{1}{2} m (\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2})$$

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