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바이하모닉 함수 📂함수

바이하모닉 함수

정의1

Δ=∇2\Delta = \nabla^{2}를 라플라시안이라 하자. Δ2\Delta ^{2}를 바이하모닉 오퍼레이터biharmonic operator혹은 바이라플라시안bilaplasian이라 한다. 아래의 방정식을 바이하모닉 방정식biharmonic equation이라 한다.

Δ2f=0 \Delta^{2} f = 0

바이하모닉 방정식의 해를 바이하모닉 함수biharmonic functin라 한다.

설명

∂i=∂∂xi\partial_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}라고 하자. 데카르트 좌표계에서 Δ=∑i∂i∂i\Delta = \sum\limits_{i} \partial_{i}\partial_{i}이므로,

Δ2f=∑j∑i∂j∂j∂i∂if \Delta^{2} f = \sum\limits_{j} \sum\limits_{i} \partial_{j}\partial_{j} \partial_{i}\partial_{i} f

특히 3차원에서는,

Δ2g=∑j=13∂j∂j(∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2)=∂4f∂x4+∂4f∂y4+∂4f∂z4+2∂4f∂x2∂y2+2∂4f∂y2∂z2+2∂4f∂z2∂x2 \begin{align*} \Delta^{2}g &= \sum\limits_{j=1}^{3} \partial_{j}\partial_{j} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right) \\ &= \dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{4}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{2} \partial x^{2}} \\ \end{align*}

같이보기

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Biharmonic_equation ↩︎