📂함수

바이하모닉 함수

정의¹

$\Delta = \nabla^{2}$를 라플라시안이라 하자. $\Delta ^{2}$를 바이하모닉 오퍼레이터^{biharmonic operator}혹은 바이라플라시안^bilaplasian이라 한다. 아래의 방정식을 바이하모닉 방정식^{biharmonic equation}이라 한다.

$$ \Delta^{2} f = 0 $$

바이하모닉 방정식의 해를 바이하모닉 함수^{biharmonic functin}라 한다.

설명

$\partial_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}$라고 하자. 데카르트 좌표계에서 $\Delta = \sum\limits_{i} \partial_{i}\partial_{i}$이므로,

$$ \Delta^{2} f = \sum\limits_{j} \sum\limits_{i} \partial_{j}\partial_{j} \partial_{i}\partial_{i} f $$

특히 3차원에서는,

$$ \begin{align*} \Delta^{2}g &= \sum\limits_{j=1}^{3} \partial_{j}\partial_{j} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right) \\ &= \dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{4}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{2} \partial x^{2}} \\ \end{align*} $$

같이보기

• 조화함수
• 바이하모닉 함수
• 폴리하모닉 함수