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좌표공간, 데카르트 좌표계

정의

좌표평면과 수직선을 좌표평면의 원점에서 만나면서 직교하도록 그린 것을 좌표공간^{coordinate space}이라 한다. 이때 좌표평면과 직교하는 수직선을 $z-$축 이라 한다. 세 축으로부터 위의 그림과 같이 결정되는 곳을 점 $(a,b,c)$ 이라 한다. 점 $(0,0,0)$을 원점이라 한다.

• $x$축과 $y$축으로 만들어지는 좌표평면을 $xy-$평면이라 한다.
• $y$축과 $z$축으로 만들어지는 좌표평면을 $yz-$평면이라 한다.
• $z$축과 $x$축으로 만들어지는 좌표평면을 $zx-$평면이라 한다.

설명

이를 최초로 고안한 사람으로 알려진 데카르트의 이름을 따 (3차원) 데카르트 좌표계^{Cartesian coordinate system}이라고도 한다.

단위벡터

데카르트 좌표계의 단위벡터는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{x}} &= \hat{\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{i} = (1,0,0) \\ \hat{\mathbf{y}} &= \hat{\mathbf{x}}_{2} = \mathbf{j} = (0,1,0) \\ \hat{\mathbf{z}} &= \hat{\mathbf{x}}_{3} = \mathbf{k} = (0,0,1) \\ \end{align*}$$

따라서 좌표공간의 임의의 점 $(x, y, z)$는 다음과 같이 표현된다.

$$(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$$

구면좌표계와의 관계

좌표변환

구좌표 $(r, \theta, \phi)$로 3차원 데카르트 좌표를 표현하면, 삼각함수의 정의로부터, 다음과 같다.

$$\begin{align*} x &= r \sin\theta \cos\phi \\ y &= r \sin\theta \sin\phi \\ z &= r \cos\theta \end{align*}$$

반대로 데카르트 좌표로 구 좌표를 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \theta &= \cos^{-1}\textstyle\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \phi &= \tan^{-1}\textstyle\frac{y}{x} \end{align*}$$

유도

$$\dfrac{y}{x} = \dfrac{r \sin\theta \sin\phi}{r \sin\theta \cos\phi} = \tan\phi \implies \phi = \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$$

$$\cos\theta = \dfrac{z}{r} = \dfrac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$$