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1/(1+x^2)의 적분

공식

• 정적분

$$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \pi$$

• 부정적분

$$\int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \tan^{-1} x + C$$

$C$는 적분상수이다.

증명

정적분

$x = \tan \theta$로 치환하자. 그러면 적분 범위는 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \to \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$이고, $\tan ^{\prime} = \sec^{2}$이므로 $dx = \sec^{2} d\theta$이다.

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 + \tan^{2}\theta} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\frac{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\frac{1}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \\ &= \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \\ &= \pi \end{align*}$$

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부정적분

마찬가지로 $x = \tan \theta$로 치환하면,

$$\begin{align*} \int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx &= \int \dfrac{1}{1 + \tan^{2}\theta} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int \cos^{2} \theta \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta \\ &= \int d\theta \\ &= \theta + C \\ &= \tan^{-1} x + C \end{align*}$$

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