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ℓ2 공간 📂바나흐공간

ℓ2 공간

정의1

제곱수렴하는 수열들의 집합을 ℓ2(N)\ell^{2}(\mathbb{N})이라 나타낸다.

ℓ2(N):={{xk}k∈N:x∈C(or R),∑k∈N∣xk∣2<∞} \ell^{2}(\mathbb{N}) := \left\{ \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} : x \in \mathbb{C}(\text{or } \mathbb{R}),\quad \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \lt \infty \right\}

간단히 다음과 같이 표기하기도 한다.

x={xk}k∈N=(x1,x2,…,xn,… ) \mathbf{x} = \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots)

설명

ℓ2\ell^{2} 공간은 ℓp\ell^{p} 공간이 p=2p=2일 때의 특별한 경우로, ℓp\ell^{p} 중에서 유일하게 내적공간이다.

성질

벡터공간 ℓ2\ell^{2}는

  • 힐베르트 공간, 즉 완비 내적공간이다. 내적은 다음과 같이 주어진다. ⟨x,y⟩:=∑k∈Nxkyk‾ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} := \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}}
  • 바나흐 공간, 즉 완비 놈 공간이다. 놈은 다음과 같이 주어진다. ∥x∥2:=(∑k∈N∣xk∣2)12=⟨x,x⟩ \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}}
  • 거리공간이다. 거리는 다음과 같이 주어진다. d(x,y):=(∑k∈N∣xk−yk∣2)12=∥x−y∥2=⟨x−y,x−y⟩ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} - y_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|_{2} = \sqrt{\braket{\mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{x} - \mathbf{y}}}
  • 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. ∣⟨x,y⟩∣=∣∑k∈Nxkyk‾∣2≤(∑k∈N∣xk∣2)(∑k∈N∣yk∣2)=⟨x,x⟩12⟨y,y⟩12 \left| \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \right| = \left| \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} \right|^{2} \le \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right) \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| y_{k} \right|^{2} \right) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}^{\frac{1}{2}} \braket{\mathbf{y}, \mathbf{y}}^{\frac{1}{2}}

정리

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p65-66 ↩︎