📂측도론

실함수의 절대연속

정의¹

함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}( \text{or } \mathbb{C})$가 주어졌다고 하자. $f$가 임의의 유한개의 서로소인 구간들 $(a_{i}, b_{i}) \sub [a,b]$가 주어지더라도 다음의 조건을 만족할 때 $[a, b]$ 위에서 절대 연속^{absolutely continuous}이라 한다.

$$\forall \epsilon \gt 0 \quad \exist \delta \gt 0 \text{ such that } \sum\limits_{i=1}^{N} (b_{i} - a_{i}) \lt \delta \implies \sum\limits_{i=1}^{N} \left| f(b_{j}) - f(a_{j}) \right| \lt \epsilon$$

설명

정의에 의해서 절대연속이면 균등연속이다.

성질

$f$가 미분가능하고 도함수 $f^{\prime}$이 유계이면, $f$는 절대연속이다.

같이보기

• 실함수의 절대 연속
• 측도의 절대 연속
• 부호 측도의 절대 연속